活用反例，提高学生的数学学习能力

廖庆平

数学是一门严谨的学科，解决数学问题的思维过程应是要断定一个命题的正确性必须经过严密的推断论证，而要否定一个命题，只需举出一个与结论矛盾的例子即可，这种与命题相矛盾的例子称为反例。

在初中教学中，反例的构建是教学中一种非常重要的教学手段和方式，反例教学有着极其重要的作用。通过反例对学生所犯错误加以剖析，让学生从分析中认识产生错误的原因，这对他们准确、深刻理解概念、定理、公式，培养他们分析问题、解决问题的能力，激发他们的学习兴趣会有很大的帮助，同时，反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。

结合笔者平时的教学，下面就反例教学在数学教学方面的作用谈谈心得体会。

一、反例有助于学生对数学概念加深理解

为加深学生对数学概念、性质、定理的清晰认识，教师运用反例具有典型、形象、直观等特点，能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。例如，在教学“正多边形和圆”时，设计一个问题：各边相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举反例说明。学生们都知道：各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形。为了加深学生对正多边形一些性质的理解，从反面进行巩固。显然，各边相等的圆内接多边形的各角也相等，它是正多边形，各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如矩形等。通过举例，使学生们找到了正确的答案，也深刻理解和掌握了这个概念。

二、反例有助于学生对数学定理或性质掌握到位

学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词，从而造成解题的错误。为了改变这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词，从而达到掌握定理和性质，并能正确加以应用。例如：教学垂径定理的推论1“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，学生常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。教学时可以构造反例，如：圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，由此来纠正这一错误，加深对限制条件地理解，达到准确掌握和运用定理的目的。

三、反例有助于学生准确掌握公式的条件

学生在利用公式来解决实际问题或进行计算化简求值等方面，容易忽略公式成立条件或公式适用范围，因而发生不必要错误。例如，5-2a+a-3先化简，再求值，当a=2时。甲：原式=0.乙：原式=2，你认为谁正确，为什么？此例是有绝对值的化简公式的应用，导致两种截然相反结果的原因是绝对值中的值是大于0还是小于0，由题意知a=2时，a-3<0，因此乙正确。通过此例甲、乙两同学计算过程的对比，让学生明显体会到今后在化简有绝对值式子时，一定要注意绝对值内a的符号，否则会出现两种完全不同的结果。本题让学生认清在实际解题中不能凭主观判断进行解题，引导学生从本质上理解如何正确运用公式。

四、反例有助于学生发现问题，纠正错误

在教学实践中，恰当运用反例教学，能有效地帮助学生发现问题，纠正错误。一方面可以让学生准备一个专门用于订正练习中错误的笔记本，叫学生自己分析错误原因，写出正确答案；另一方面把学生中带有共性的容易出错的问题一起讨论，使他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。每一次的错误分析其实都是一次成功的反例研究，应该说对学生的进步具有很大的推动作用。

五、反例教学能激发学生积极的情感

讲解那些精选的反例，往往能引起学生内心的共鸣，加上学生的积极参与，就更能提高学生的认识，激励其努力上进的欲望，并使认识与体验相结合，形成学好数学的坚定信念。反例常能以其特有的魅力吸引学生的好奇心，促使其去追根究底，它有助于激发学生积极的情感。

六、反例有助于学生的创新思维发展

例如在讲授“实数”一节时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如π与-π；它们的和都等于零是有理数。在此问题的基础上，教师可以进一步地追问：两个无理数的积是否一定是无理数？两个有理数的和或者积是否一定是有理数？一个无理数与一个有理数的和是否一定是无理数？一个无理数与一个有理数的积是否一定是无理数？ 通过对这些问题作更多更深入的研究，不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解。教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。

总之，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性错误，全面培养思维的创新性，提高学生学习数学的能力。