形如“af（x）+b=c”方程的五种解法

徐泽明

解分式方程的一般思想方法是通过去分母，把分式方程转化为整式方程来求解.但对于一部分较特殊的分式方程，若用一般方法求解，则解题过程比较繁杂，因此，应根据分式方程的结构特点，采用特殊的方法和技巧求解.

对于形如“af（x）+b =c”（其中a、b、c为常数，f（x）是关于x的二次代数式）”的可化为一元二次方程的分式方程，一般来说都可以用如下五种方法来解.下面我以方程 + =7为例，谈谈这五种方法的具体求解过程.

一、倒数换元法

观察分式方程“af（x）+b =c”，我们不难发现它有一个明显的特点是：f（x）与 互为倒数.对于此类问题，最简明的求解方法就是利用倒数换元法来求解.因此我们可以假设f（x）=y，那么 = ，这样一来，经过换元后关于新变量y的方程的次数就降低了，问题也就容易解决了.

解法一：设 =y，则 = （y≠0），原方程变形得2y+ =7.

去分母，得2y -7y+6=0，解之得y =2，y = .

当y =2时， =2，去分母，化简得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

当y = 时， = ，去分母，化简得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

二、均值换元法

由于分式方程“af（x）+b =c”的左边两个含有变量x的式子的和是一个常数c，因此如果假设af（x）= +t，b = -t，由于f（x）与 互为倒数，因此将两式相乘可以得到ab= -t ，再由这个方程可以解得t，然后把t的值代入af（x）= +t中求得x.结合上述方程具体解法如下.

解法二：设 = +t， = -t，

将上述两式相乘可得12= -t ，解之得t = ，t = .

当t = 时， = + ，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化简得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

当t =- 时， = - ，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化简得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

三、利用根与系数关系来解

仔细观察分式方程“af（x）+b =c”的特点，不难发现它有两个特点：①af（x）+b =c；②af（x）×b =ab，其中c与a×b都是常数.正好符合一元二次方程中的根与系数关系式，因此我们可以把af（x）与b 看做是一元二次方程“y -cy+a×b=0”的两个实数根，我们只要解这个一元二次方程就可以得到af（x）与b 的值，从而进一步求得原方程的解.

解法三：由于 + =7， × =12，因此我们把 与 看做是一元二次方程“y -7y+12=0”的两个根.解这个一元二次方程得y =4，y =3.

若 =4，则 =3，由方程 =4，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化简得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

若 =3，则 =4，由方程 =3，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化简得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

四、十字相乘因式分解法

如果将分式方程进行移项或者去分母，再经过适当整理后，使得方程的右边是0，方程的左边是易于利用十字相乘法分解因式的式子，那么就可以利用十字相乘法来解此类方程.

解法四：移项得 + -7=0，利用十字相乘法分解因式得 + -7=-（ -1）（ -3）=0，于是可以得到 -1=0或 -3=0.

当 -1=0时，整理得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

当 -3=0时，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

另解成：方程两边同时乘以（x +1）（x+1）去分母，移项得2（x +1） -7（x +1）（x+1）+6（x+1） =0，利用十字相乘法进行分解因式得[（x +1）-2（x+1）][2（x +1）-3（x+1）]=0，于是可以得到（x +1）-2（x+1）=0或2（x +1）-3（x+1）=0.

当（x +1）-2（x+1）=0时，整理得x -2x -1=0，解之得x=1± ；

当2（x +1）-3（x+1）=0时，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

五、待定系数因式分解法

在解方程 + =7时，在学习用换元法解这个方程之前，大部分学生习惯上直接用去分母法来解，即方程两边同时乘以（x +1）（x+1），去分母、去括号、移项得2x -7x +3x +5x+1=0.当学生在解这个高次方程有困难时，教师可以引导学生观察方程2x -7x +3x +5x+1=0的特点，可以发现：x 的系数是2；常数项是1.根据这个特点，用待定系数法分解因式时只有两种可能.

解法五：方程两边同时乘以（x +1）（x+1），去分母、去括号、移项得2x -7x +3x +5x+1=0.用待定系数法分解因式：

①设2x -7x +3x +5x+1=（x +ax+1）（2x +bx+1），去括号，合并同类项得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（3+ab）x +（a+b）x+1，于是有2a+b=-73+ab=3a+b=5，求解方程组时，发现此方程组无解，说明此种分解不符合题意.

②设2x -7x +3x +5x+1=（x +ax-1）（2x +bx-1），去括号，合并同类项得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（-3+ab）x -（a+b）x+1，于是有2a+b=-7-3+ab=3-（a+b）=5，

解之得a=-2b=-3，所以2x -7x +3x +5x+1=（x -2x-1）（2x -3x-1），方程用待定系数法分解因式得（x -2x-1）（2x -3x-1）=0，于是可以得到x -2x-1=0或2x -3x-1=0，解方程x -2x-1=0得x=1± ；解方程2x -3x-1=0得x= .检验略.

我们在用倒数换元法、均值换元法法、根与系数关系法、十字相乘因式分解法、待定系数因式分解法解形如“af（x）+b =c”分式方程时，都体现了一定的灵活性和技巧性.其实我们还可以用这些方法解其他一些特殊形式的分式方程，这就要求我们必须仔细观察、分析分式方程的特点，然后根据分式方程的特点选择恰当的方法来解，这样能收到事半功倍的效果.