基于非线性相关地震波场插值

孙江兵 李栋 王小磊 郭蕾

在地震数据处理中，除因数据缺失而直接丢失一部分信息外，还可能导致在后续处理流程中产生噪声，使得地震道中出现形态各异的脉冲。这样，基于多道处理算法的处理过程将受到缺失道的影响，其中受影响最严重的包括波动方程偏移，基于波动方程的抑制表面多次波的方法，与地表有关的多次波的消除和谱估计等处理过程。

道内插是地震资料常规处理中不可缺少的步骤，其目的是在偏移之前加密空间方向（特别是三维横线方向）的采样，防止因采样过疏、在偏移过程中产生空间假频，从而提高小构造的成像精度。

非线性相关技术

把非线性相关技术用于地震道插值以填充地震勘探中的空白段，取代噪声道，产生均匀间隔的排列。首先进行初始对正（对叠前资料进行NMO校正，对叠后资料则人工插入相关线），然后把相邻地震道的相应特征一一相应对正，并确定出地震道之间的旅行时差。用这些资料构成的合成道（内插道）无论相关道之间的距离有多大，都可保持单个反射面的倾角和振幅的连续变化。

按照Martinson等人（1982）的设想，假设两个待相关的地震道和（=接收点，t=时间），它们的波形相似，但其中的一个地震道相对于另一个地震道经历了时间轴的拉伸或压缩。这种拉伸或压缩的“畸变”可由未知形状的映射函数来描述，它使一个地震道的时间的特征与另一个地震道的时间的对应特征相联系。

Martinson等人（1982）把映射函数参数化为一条线性趋势线，此线是用含有未知系数的截断傅里叶正弦级数改形而得到的。此法试图寻找产生映射函数的系数值，该映射函数的型式能使描述两个地震道之间相似程度的相关系数（或相干系数）C最大。这样，相关系数C值视映射函数系数值而定。映射函数使地震道之间相关最好时C达到它的最大值，梯度向量中的所有为零。

用线性反演法以迭代方式求取系数使相关性最好。给系数使一个小的增量，则C也获得一个增量，所以△C=▽C·△a。这对值就有了一个约束。然后要求△a必须处在使增加最快的方向上，即▽C必须平行于△a，或△a= ▽C，这样其他约束条件也可实现了，这些约束便于求出△a。

非线性相关技术道间插值模式

特殊情况下，如果是两个相邻相关道的映射函数，对于地震波场u（x，t）中的接收点和，有

这里在最小平方意义上使得误差函数 （x，t）极小。

由任何两个采样道之间所确定的u（x，t）的内插由下式得出

为采样道间距。

时间由稳定方程得出

式中表示给定地震同相轴的采样道之间的相移。

其中，相关系数C是用来定量描述两个波形的相似程度的。假设有两个波，取某个适当的数a，使得波和相接近，用误差能量来定量衡量相接近的程度

因为和的能量和往往是确定的，所以的大小就由确定。被称为和的相关系数，这样便可得相关系数C。

在讨论两个波形相似性时，常常还要分析两个波形相对时移后的相似性，即计算与的相关系数（相对于时移为）

当变化时，就是的函数，是相对于的延迟时间，即时移。

实际资料结果

模型抽出一道地震道（该道位于断层上盘）的插值前、待插值以及插值后。对比分析可以看出经过非线性相关技术對实际断层构造模型进行道间插值，输出的结果同插值前相比较，地震道波形自然，地震剖面基本一致，能与原始剖面较好的吻合。