“错误”在初中数学教学中的价值

杨锋

【摘要】 初中生学习数学会不可避免地出现错误. 学生的错误是学生认知过程的重要组成部分，也是一种值得利用的教育资源. 错误在初中数学教学中有其重要的价值：以错显正，可以使学生对知识有深刻的理解；以错攻错，可以使学生掌握元认知监控策略；因才施教，可以使学生从错误中找回信心.

【关键词】 错误；初中数学；教学；价值

在教学中，教师通常传授科学的知识和讲解正确的方法，但是教师也经常不可避免地要面对学生的错误. 初中的教学对象是身心发展尚未成熟的青少年，这个年龄的心理特点决定了他们常会产生理解错误或解题错误.

事实上，错误并不可怕. 学生所犯的错误及其对错误的认识，都是学生认知的重要组成部分. 学生作出错解，从知识与技能掌握的角度来说，他失败了；但是，他因为对数学活动的参与而获得了一种体验，尝试用已有的知识和经验解决问题，从这个角度来说，他是有收获的. 教师应当把错误看成是学生在学习中自然存在的现象，把错误看成认识学生思维规律的重要手段.

另外，从教学角度来看，错误本身也是一种值得利用的教育资源. 一方面，行为心理学知识告诉我们，把“错误”作为反面材料，通过警示、否定、修正等方式刺激，可以达到强化学习的目的，这种刺激的“加强”效果也尤为明显. 另一方面，针对学生的错误，引导学生自主反思、客观分析、总结经验，不仅可以让学生日后减少出错，而且能帮助学生掌握有效的学习策略.

一、以错显正，可以使学生对知识有深刻的理解

教学实践表明，教师把“错误”展现出来，引导学生共同探讨导致错误的原因，有利于活跃课堂气氛和提高学生的学习兴趣. 教师对“错误”的点评，可以加深学生对知识的理解和记忆，警惕易犯的错误.

（一）利用错误，讲清本质

初中生的抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持，在概念教学中展示错例，可以丰富学生的感性经验，教师进一步引导学生分析这些错误，可以起到突出概念的本质特征的作用，使学生比较迅速准确地掌握概念.

例如，学习对顶角这个知识的时候，学生对“对顶角的判断”经常出错，以为图1-1至图1-3中的∠1和∠2是对顶角. 这时教师借助这几个错例来讲解. 提问：“这两个角有没有公共顶点？是不是由两条直线相交构成？”通过错例，概念的学习有了形象的依托，学生更容易从具体图例当中提炼和记忆对顶角的本质属性.

（二）通过对比，防止混淆

随着教学的推进，学习内容的增多，学生容易发生混乱错误. 在教学中，可以通过对比来防止学生混淆. 对比，既可以把同一道题的正误解法进行比较，也可以把学生混淆的两个题型进行类比.

例如，学生学了分式方程后，常常与分式化简题混淆.

教师展示了错解，还要讲解正确解法，在对比之中让学生找出解题错误的步骤. 接着，教师可以针对学生混乱致错的原因，设计一道分式方程的题目进行对比， 通过对比，学生明白了错因，同时又知道了两种题型的解法的区别与联系，既能防止错误再次发生，又达到了深刻理解解法的目的.

二、以错攻错，可以使学生掌握元认知监控策略

元认知监控策略，是指学生对自己学习过程的有效监视和控制. 监控策略使学习者警觉自己在注意和理解方面可能出现的问题，以便找出来，并加以修改. 以錯攻错，就是指教师要利用错误来培养学生的元认知监控策略，使其在解题过程能够自我监控、在解题之后能够进行反思，及时调整问题解决的方法，避免出错.

（一）在错误中学会提问

利用错误来培养学生的元认知监控策略，首先要培养学生自我提问的能力. 教师在题目评讲时，示范性地对错解进行自我提问，引导学生发现错误然后找到正确解法.

教师可事先制订一个体现思考程序的“问题单”，分三步进行自我提问. 第一步，属于问题表征类：题目说什么，求什么？有什么数量关系？第二步，属于解题方法类：以前有没有做过类似题目？怎样求，什么方法？第三步，属于思维方式类：我进行双向推理了吗？我注意发散思维和集中思维了吗？

例2 甲乙两根蜡烛燃烧时剩余部分高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图2所示，分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式

错解 设y = kx + b，把（2，30）和（2.5，25）代入得

30 = 2k + b，25 = 2.5k + b，解得k = -10，b = 50.

所以，y = -10x + 50.

问：题目求什么？谁的？多少个？

答：求函数关系式，甲的……乙的，两……两个！怎么才求出一个，哦，可能错了.

问：求函数关系式的方法是什么？

答：待定系数法，找两个点的坐标代入.

问：求一个函数关系式需要多少个点的坐标？两个函数关系式呢？

答：求一个函数关系式需要两个点的坐标. 两个函数关系式……对啊，怎么才两个点的坐标？哦！我明白错在哪里了！

类似于上述过程，经过自我提问和回答，多数学生能意识到解题的错误. 教师对错解进行自我提问示范，目的是培养学生形成自我提问的习惯. 当自我提问成为一种稳定的能力时，学生就掌握了初步的元认知监控策略.

（二）在错误中学会反思

作为初中数学教师，不能无视学习者的己有经验，特别是错误的经验. 教师要想办法让学生经历发现错误的过程，反思错误的原因，然后寻找解决问题的办法.

例3 如图3，四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13，12，∠CBA = 90°，求S四边形ABCD .

错解 S四边形ABCD = （3 + 13） × 4 ÷ 2 = 32.

正解：连接AC，

∵ ∠CBA = 90°，AB = 3，BC = 4，

∴ AC = 5，

∵ CD = 13，DA = 12 ，AC = 5，

∴ ∠CAD = 90°.

∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC = 3 × 4 ÷ 2 + 5 × 12 ÷ 2 = 36.

教师若直接给出上述解法，学生可能仍不明白做错的原因，无法吸取教训. 事实上，当学生出现上述错误时，教师可以让学生先按题目所述的数据画图，让学生发现题目中的四边形ABCD并不是自己主观认为的梯形，犯了“添加条件”的错误，此时教师不失时机地引导学生反思：题目没有说到的条件不能擅自添加；题目说了的条件不可能无需用到. 这时学生才意识到题目并没有说四边形ABCD是梯形，而条件“DA = 12”却被丢在一边. 教师趁热打铁：不规则图形求面积还有什么办法？学生恍然大悟：分割法，我懂了！

所以说，教师要懂得利用学生的错误来让学生学会反思. 只有学生自己意识到错误之后，他们才能从根本上改正错误，也才能在以后处理类似的问题时否定以前的解法，而把正确的解法作正迁移，从而提高解题能力.

三、因才施教，可以使学生从错误中找回信心

没有学生愿意主动出错，面对自己的错误解答，他们心理上也有压力. 学生渴望得到尊重，他们敏锐地感受着教师言行的点点滴滴. 教师应做到具体问题具体分析，针对个体差异区别对待，并且教会学生积极地面对挫折，在错误中找回信心.

（一）善意批评与严格要求相结合

“错误”有一定的教学价值，但并不意味着教师可以放任学生犯错. 教师要对学生的“小错误”给予足够的重视，弄清楚该错误是“新病”或是“顽疾”. 对首次犯错的学生，可以在评讲时指明致错的原因，暴露产生错误的思维过程；对同一错误一犯再犯的学生，除了强调正确解法之外，还应该对这名学生给予善意的批评.

例4 如图4，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，∠1 = ∠2. 求证：AB = AC.

错证一 ∵ AO平分∠BAC，

∴ ∠BAO = ∠CAO.

∵ ∠1 = ∠2，

∴ BO = CO.

又 ∵ AO = AO，

∴ △BAO ≌ △CAO，

∴ AB = AC.

该题的证明错误在于学生错把SSA当作SAS来用了. 如果学生一直认为SSA能证明全等，教师对出现这种知识性错误的学生理应批评提醒和严格要求，杜绝再错；如果学生知道SSA并不能证明全等，是因为想不出证法而不得不“错证”出来，教师则应当和学生作适当的交流，提出要认真思考问题、不能马虎对待数学的要求.

（二）个别辅导与肯定鼓励相結合

有的学生因为思维定式出错，有的学生因为情绪焦虑出错，有的学生因为问题表征困难出错，等等. 教师可以找学生谈心，分析致错的心理因素，进一步培养学生战胜困难的勇气和决心.

例如上述例4，有的学生证明如下：

错证二：如图5，作OD⊥BC，垂足为D

∵ ∠1 = ∠2，

∴ BO = CO，即△OBC是等腰三角形.

∵ OD⊥BC，

∴ BD = CD.

在△ABD和△ACD中，

∵ BD = CD，∠BDA = ∠CDA = 90°，AD = AD，

∴ △ABD ≌ △ACD，从而AB = AC.

显然，出现上述错误的学生没有意识到作OD⊥BC后，点A，O，D不一定在同一条直线上，从而证明失败. 但是该学生作了辅助线，说明他对题目的思考已经较为充分，属于思维活跃、敢于尝试的学生. 教师一方面要肯定他不怕困难勇于尝试的精神，另一方面，教师还要引导他查找错误，促使其全面思考，鼓励他再作尝试. 学生很快找到了正确的辅助线的作法：作OM⊥AB，ON⊥AC即可完成证明.

总之，错误是伴随学习过程的常见现象，错误不等于失败. 对学生而言，错误增加了他数学经验的积累. 对教师而言，学生的错误使老师更好地了解到学生头脑中的想法，在教学中能及时作出有针对性的调整. 如果学生能在教师的支持下，尝试按照自己的想法解释错误，他就有机会整理自己的观点，并检查自己思维过程的合理性，从而发现错误并弄清病因. 作为教师，我们除了传播科学的数学知识和展示正确的思想方法，还要营造一种宽松的环境，让学生敢于尝试并且“知错能改”，在改正错误的过程中找到正确的方法和收获进步的喜悦.

【参考文献】

[1]林崇德.发展心理学[M].杭州：浙江教育出版社，2002：379.

[2]戴再平.数学学习论[M].上海：上海教育出版社，1996.

[3]张大均.教育心理学[M].北京： 人民教育出版社，2004.