避免简单错误 收获更多分数

2013年的高考已经迫在眉睫了，在这最后的阶段，进行大规模的练习既不现实也没必要.我们所要做的，是学习如何在答题时尽量避免那些无谓的错误，并借鉴一些答题技巧，尽力争取多拿分.

今天，我们就一起来分析2012年高考数学浙江卷（理科）解答题（第18题至22题）的阅卷情况，看看上一届考生究竟“马失前蹄”在何处，听听阅卷老师给我们的忠告！

在下文中，我们将依次列出2012年高考数学浙江卷（理科）解答题，并在每道题的解题过程中标注出学长们曾经出错的地方，和同学们一起分析错误原因，吸取教训，提升经验值！

阅卷回顾： 义乌中学 骆琳珺老师

三角函数解答题难度不大，但得分率并不是非常高.除了计算差错外，常见的错误有两种：一是没有厘清数学概念，或是记错公式，甚至是一时马虎，用错了余弦定理、两角和展开公式、诱导公式等.二是解题策略使用不当，致使解题过程过于复杂，计算量过大，最后导致错解.下面的“错误1”和“错误2”都属于这类问题.

[2012年高考数学浙江卷（理科）第18题] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA=，sinB=cosC.

（1） 求tanC的值；

（2） 若a=，求△ABC的面积.

解： （1） 因为0

（2） 由tanC=可得sinC=，cosC=.又由a=，=解得c=.由sinB=cosC可得sinB=.所以S=acsinB=（此处易错，请看“错误2”）.

错误1 转化不等价

有些同学由余弦定理得到cosA==即b2+c2-a2=bc，结合正弦定理得到sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC（*），然后把sinA=，sinB=cosC代入*式，可得9sin2C+45cos2C-5=12sinCcosC，即9sin2C+45cos2C-5（sin2C+cos2C）=12sinCcosC，整理得sin2C+10cos2C-3sinCcosC=0，等式两边同除以cos2C，解得tanC=或tanC=2.

之所以会得到tanC的两个解，是因为存在不等价的转化.三角形内角的正弦值在区间（0，1]上，余弦值在（-1，1）上.因为sinB=cosC，所以cosC>0.同学们对sin2C+10cos2C-3sinCcosC=0求解时，却没有考虑到C是三角形的内角且sinC，cosC均大于0，而是将sinC，cosC看成可正可负的值，因此扩大了解题范围，得到了tanC的两个解.

由于题目要求的是tanC的值，所以我们可以有意识地在sinB=cosC的转化过程中保留有关∠C的三角函数，这样就能方便地求出tanC的值.

错误2 解题策略不当

用余弦定理求三角形边长时，会出现二次方程并可能导致两个解.有的同学就是这样解的：由a=，=解得c=.由余弦定理得cosA==（*），把a=，c=代入*式可得b2-4b+=0，解得b=或.由sinA=，S=·bcsinA解得S=或S=.

b=其实是个增根.如果我们把b=代入验算，由cosA=>可知A<.又由===解得sinB=，因为sinB=<，所以B<.由上文的解中可知cosC=>0，故C<.所以A+B+C<++=π，即△ABC的内角和不为180°，b=不成立.

既然我们已经求出了a=，c=，那么最好是利用S=acsinB求三角形的面积.因为我们已求得cosC=，而由sinB=cosC易求得sinB的值，这样就能避免对b的两个值进行验算了.

阅卷回顾： 萧山中学 鲁智锋老师

浙江大学附属中学 马继生老师

概率题满分为14分，全省平均得分约为12分.虽然题目非常基础，但我们也发现了不少问题.有的同学没有审清题意，把“取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分”看成了“取出一个白球得1分，取出一个黑球得2分”，题目看错了，后面的解就全错了.有的同学在理解上出现了偏差，把组合问题理解成排列问题，把“不放回”问题理解成“放回”问题.还有的同学标错了题号，白白丢了分数.这些错误充分暴露了同学们的一些不良解题习惯.

从阅卷情况看，同学们的运算能力也有待提高.数据本身并不复杂，解题思路也没问题，但最终还是算错了，这样的同学不在少数.

[2012年高考数学浙江卷（理科）第19题] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.

（1） 求X的分布列；

（2） 求X的数学期望E（X）.

解： （1） 由题意得X取3，4，5，6，且P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）== （此处易错，请看“错误1”“错误2”）.

所以X的分布列为：

（2） 由（1）知E（X）=3·P（X=3）+4·P（X=4）+5·P（X=5）+6·P（X=6）=.

错误1 把组合问题理解成排列问题

题目只要求我们取出3个球，可有些同学把问题理解成了依次取出3个球，这相当于给每个球编上号再取球，增加了取球的顺序.于是得到了“P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==”的错误结果.

错误2 把“不放回”问题理解成“放回”问题

有些同学把“不放回”问题理解成“放回”问题，这样每次取出白球的可能性都有4种，每次取出黑球的可能性都有5种，球的总数始终为9个，于是就有“P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=”，这显然是不合题意的.

阅卷回顾： 余杭高级中学 许映虹老师

说到底，立体几何问题考查的就是同学们的空间想象能力和逻辑推理能力，阅卷情况也证明，大部分错误都是由于同学们缺乏空间想象力造成的.比如在没有确定三条直线两两垂直的情况下就贸然建立空间直角坐标系；或者缺乏逻辑依据，根据图象臆断二面角的平面角等.另一种常见错误则是由于混淆概念或误用公式造成的.

[2012年高考数学浙江卷（理科）第20题] 如图1所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M，N分别为PB，PD的中点.

（1） 证明：MN∥平面ABCD；

（2） 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

解： （1） 如图2所示，联结BD. 因为M，N分别为PB，PD的中点，所以MN为△PBD的中位线，所以MN∥BD.又MN？埭平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD.

（2） 如图3所示，联结AC交BD于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以对角线AC，BD相互垂直.以O为原点、OC为x轴、OD为y轴、过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系（此处易错，请看“错误1”）. 因为在菱形ABCD中，∠BAD=120°，所以∠ABC=∠BAC=60°，所以AC=AB=2，BD=AB=6.

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.

在Rt△PAC中，AC=2，PA=2，所以PC==6.又AQ⊥PC，故AQ==2.由勾股定理可得CQ=2，PQ=4，即=，所以=.

由此可得各点坐标如下：O（0，0，0），P（-，0，2），A（-，0，0），B（0，-3，0），C（，0，0），D（0，3，0）.因为M，N分别为PB，PD的中点，所以M-，-，，N-，，.因为=（-2，0，2），故由=可得Q，0，.

设m=（x，y，z）为平面AMN的法向量.由=，-，， =（0，3，0）可得·m=0，·m=0；解得x=-2z，y=0.取z=-1，得m=（2，0，-1）.

设n=（a，b，c）为平面QMN的法向量，由=-，-，，=-，，可得·n=0，·n=0.取c=5，得n=（2，0，5）.

于是cos〈m，n〉==（此处易错，请看“错误2”），所以二面角A-MN-Q的平面角（此处易错，请看“错误3”“错误4”）的余弦值为.

错误1 主观臆断，建立直角坐标系

因为∠BAD=120°，所以AB不垂直于AD.有些同学只凭以往解题的经验，未经思考便将∠BAD认作直角，如图4所示，以A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，于是后面的努力都付诸东流了.

错误2 公式记忆错误

向量夹角公式为cos〈m，n〉=.空间内点到平面α的距离公式为d=，其中A为平面α外一点，B为平面α内任意一点，l表示平面α的法向量.有些同学混淆了这两个公式，把求得的m，n代入d=中求解，自然就出错了.

错误3 主观臆断二面角

有些同学直接由图象判定∠AMQ为二面角A-MN-Q的平面角，有些同学则认为∠ANQ是二面角A-MN-Q的平面角.MN为二面角A-MN-Q的交线，若∠AMQ为二面角的平面角，则意味着AM⊥MN，QM⊥MN，所以MN⊥平面AMQ.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又MN∥BD，所以PA⊥MN.因为BD⊥AC，所以MN⊥AC，故MN⊥平面PAC.由此可得平面AMQ与平面PAC平行或重合.由图4可知这显然不成立，故∠AMQ不是二面角的平面角.同理可知，∠ANQ也不是二面角A-MN-Q的平面角.

在求解数学题时，每一个结论都需要条件的支持，一定要根据条件进行推理，切勿主观臆断.

错误4 空间想象力薄弱

MN是△PBD的中位线且与PA是异面直线，两者无交点.有些同学被图象迷惑，误以为PA与MN相交，于是设PA与MN交于点S，联结SA，SQ，认为∠ASQ就是二面角A-MN-Q的平面角，而∠ASQ根本就不存在.用几何法确定二面角A-MN-Q的平面角的正确解法如下：

如图5所示，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又在菱形ABCD中，AB=AD，结合PA为Rt△PAB与Rt△PAD的公共边可得△PAB≌△PAD，所以PB=PD.又BC=CD，PC为△PBC与△PDC的公共边，所以△PBC≌△PDC.

因为M，N分别是PB，PD的中点，由△PAB≌△PAD，△PBC≌△PDC可得AM=AN，QM=QN，即△AMN与△QMN均为等腰三角形.

取MN的中点E，联结AE，QE，可得AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ就是二面角A-MN-Q的平面角.

阅卷回顾： 嘉兴市第一中学 姚丽芳老师

解析几何大题虽然有一定难度，但考查的都是通性通法.在阅卷中，我们发现了不少基础性的错误，比如对圆锥曲线的相关概念、定义、公式理解有误，或是盲目套用公式、定理等，这都体现了同学们对基础知识的掌握比较薄弱.

注重细节也很重要.解析几何题往往需要讨论参数的取值范围、考虑直线斜率是否存在、分类讨论端点问题等，对计算能力要求也比较高，同学们应力求仔细，否则即使解题思路对了，也有可能算错答案.

[2012年高考数学浙江卷（理科）第21题] 如图6所示，椭圆C：+=1 （a>b>0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为.不经过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.

（1） 求椭圆C的方程；

（2） 求△ABP面积取最大值时直线l的方程.

解： （1） 设椭圆的左焦点为F（-c，0），由题意可知=，解得c=1或c=-5.因为c>0，故c=1（此处易错，请看“错误1”）.又因为椭圆的离心率e==，所以a=2，所以b2=a2-c2=22-12=3，因此椭圆C的方程为+=1（此处易错，请看“错误2”）.

（2） 因为O（0，0），P（2，1），故直线OP的方程为y=x.因为直线OP平分线段AB（此处易错，请看“错误3”），而直线l不过原点O，故直线l的斜率k一定存在且l在y轴上的截距不为0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，直线l的方程为y=kx+b （b≠0）.

联立直线l与椭圆C的方程有y=kx+b，+=1；整理得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0（*），则Δ=64k2b2-4（3+4k2）（4b2-12）>0.由韦达定理可得x1+x2=-，x1x2=；所以M-，.

因为M在直线OP ： y=x上，所以=·-，解得b=0 （舍去）或k=-.

把k=-代入*式可得3x2-3bx+b2-3=0，所以x1+x2=b，x1x2 =.由Δ=3（12-b2）>0解得-2

因为AB==，点P（2，1）到直线l：3x+2y-2b=0的距离d==，所以S=·AB·d=··=·，其中b∈（-2，0）∪（0，2）.

令f（b）=（b-4）2（12-b2），则f′（b）=-4（b-4）（b2-2b-6）=-4（b-4）（b-1-）（b-1+）.

令f′（b）=0，则b=4 或b=1±，由穿根法作出f′（b）的图象.因为-2

错误1 对椭圆的几何意义理解有误

不少同学对椭圆中a，b，c的几何意义理解有误，认为椭圆的半焦距c作为左焦点的横坐标时应取负值，于是出现了以下混乱的解法：设椭圆的左焦点为F（-c，0），由题意可知=，解得c=1或c=-5.因为F是椭圆的左焦点，所以c=-5.

半焦距c始终是一个正实数，椭圆在x轴上的左、右焦点可分别设为（-c，0），（c，0）.

错误2 公式记忆错误

椭圆的标准方程应该是+=1，有些同学把椭圆的标准方程记成了+=1，于是得到椭圆的方程为+y2=1.类似的错解还有+=1，+=1等，这都是对基本概念和基本公式记忆模糊、理解不到位造成的.

错误3 滥用中垂线定理

条件“线段AB被直线OP平分”并不代表“AB⊥OP”，有些同学想当然地把中垂线定理用到解题中，看到“线段AB被直线OP平分”就默认AB⊥OP，于是得到kAB=-=-2.这种错误不仅反映出同学们对定理不够熟悉，没有意识到定理、公式的适用范围，还体现了部分同学解题缺乏严密性.

阅卷回顾： 杭州师范大学附属中学 冉 斌老师

对于压轴题，大多数同学都是匆忙作答，小部分同学则压根没做.但多数错误仍然比较基础，主要体现为对基本知识理解有误、没有掌握基本方法等.比如没有考虑到b的取值范围就贸然令f′（x）=0并求解，没有结合定义域的范围求解等.从阅卷情况来看，同学们的典型错误主要集中在第（1）问，方便起见，我们在此只分析第（1）问的解答.

[2012年高考数学浙江卷（理科）第22题] 已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1） 证明：当0≤x≤1时，①函数f（x）的最大值为2a-b+a；② f（x）+2a-b+a≥0；

（2） 若-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围.

解： （1） ① f′（x）=12ax2-2b=12ax2-（0≤x≤1）（此处易错，请看“错误1”“错误2”）.

当b≤0时，因为a>0，所以x2-≥0，故f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=3a-b=2a-b+a.

当b>0时，f（x）在0，上单调递减，在，+∞上单调递增.

当≥1即b≥6a时，由0≤x≤1可得f（x）在[0，1]上单调递减，故f（x）max=f（0）=b-a=2a-b+a.

当<1即00即b<2a时，

f（x）max=f（1）=3a-b=2a-b+a；当f（1）-f（0）≤0即b≥2a时， f（x）max=f（0）=b-a=2a-b+a.

综上可得，函数f（x）的最大值为2a-b+a.

②要证f（x）+2a-b+a≥0，只要证f（x）min+2a-b+a≥0即可.由①可得f（x）的最大值为2a-b+a，故问题转变为求证f（x）min+f（x）max≥0.记S=f（x）min+f（x）max.

由①可知，若b≤0，则f（x）在[0，1]上单调递增，故f（x）min=f（0）=-a+b，f（x）max=f（1）=3a-b，所以S=f（x）min+f（x）max=f（0）+f（1）=2a.因为a>0，所以S=2a>0.

若b>0，则f（x）在0，上单调递减，在，+∞上单调递增.

当≥1即b≥6a时， f（x）在[0，1]上单调递减，所以S=f（x）min+f（x）max=f（1）+f（0）=（3a-b）+（b-a）=2a>0.

当<1即0

当f（1）-f（0）>0即b<2a时， f（x）max=f（1）=3a-b，则S=f+f（1）=2a->b-·>b-=b1->0.

当f（1）-f（0）≤0即b≥2a时，f（x）max=f（0）=-a+b，则S=f+f（0）=2b-2a-=2a-1-.令t=，由0≤2a≤b<6a可得≤t<，-1-=t2-1-t3，记g（t）=t2-1-t3，可得g′（t）=2t-t2=>0，所以g（t）在[，）上单调递增，g（t）min=g（）=1->0，所以S=2a·g（t）>0.

综上可得， f（x）+2a-b+a≥0.

错误1 没有全面考虑问题

有的同学令f′（x）=0，解得x=±.但由于我们不知道b的正负，所以±未必成立，故这种解法是错误的.

错误2 没有结合定义域求解

对于函数问题，一切讨论都要在定义域的范围内进行.如错误1，有的同学令f′（x）=0，解得x=±，得出了“f（x）在-∞，-和，+∞上单调递增，在-，上单调递减”的错误结论.即使b>0，这种解法仍然有误，因为它没有考虑是否位于定义域[0，1]内，即没有讨论与0，1的大小关系.

错误3 缺乏严密的论证

当0

f=-a+b-.很多同学解到这里，就不知道该怎么办了，于是“浑水摸鱼”，乱写一通，直接得出“f（x）min+2a-b+a≥0”，这样是不被认可的，因为这一步的证明是此题最重要的采分点.

通过以上分析，我们发现，大多数错误可以总结为以下几类：没有掌握基础知识导致概念理解错误、公式用错，没有掌握基本方法，缺乏空间想象能力，运算能力低下，等等.这些错误之处看似基础，却恰恰体现了高考考查的重点——对基础知识与基本方法的掌握.为此，建议同学们在最后的复习阶段深入理解概念，厘清每个公式、定理成立的特定条件和背景，掌握通性通法.在解题时要审清题意，理解问题的本质，并通过适当的练习，提升自己的运算能力.

要想在高考时少失分、多拿分，除了掌握基础知识和基本方法，还须做到以下几点：

（1） 不要把解题过程写到答题线以外.高考采用计算机阅卷，阅卷老师批改的是扫描答卷的电子版本，由于答题线以外部分不能被扫描，所以写在答题线以外的答案不能得分.

（2） 对于不会做的题目，不要轻易放弃，列出一些相关的公式或知识，往往能得到一些分数.

（3） 除非你有更好的解答或确信自己做错了，否则千万不要把自己已经写上的内容划掉.错误的内容即使保留在卷面上也不会被倒扣分.如果你在解题时有不同的思路，根据不同的思路解出的答案不一样，而你又不确定哪种答案是对的，最好把两种答案都写上.

（4） 书写有序，方便老师找到采分点.很多同学书写十分混乱，根本找不到答案在哪里，阅卷老师很难找到采分点，这样就容易失分了.

（5） 仔细核对题号.有些同学明明解对了问题，却把题号标错了，因为这个原因失分真是非常可惜.