图象引路 导数践行

许志锋

例 [2012年高考数学新课标全国卷（理科）第21题] 已知函数f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2.

（1） 求f（x）的解析式及单调区间；

（2） 若f（x）≥x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

第（1）问分析：

要求f（x）的解析式，必须先求出f′（1）和f（0）的值，这似乎陷入了一个逻辑循环的困境：因为对于函数与导数问题，我们一般会先确定函数的解析式，再根据其解析式求出某个具体的导数值和函数值.

观察例题，函数f（x）的解析式中含有f′（1）， f（0），而对f（x）求导得到f′（x）=f′（1）ex-1-

f（0）+x，其中也含有f′（1），f（0），因此，求解的关键是充分利用题目所给的“半成品”f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2以及求导得到的解析式求出f′（1）与f（0）的值.

第（1）问解：

对f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2求导可得f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x （①），把x=1代入①式可得f′（1）=f′（1）e1-1-f（0）+1，解得f（0）=1，所以f（x）=f′（1）ex-1-x+x2 （②），把x=0代入②式可得1=f′（1）e0-1-0+·02，解得f′（1）=e.所以f（x）的解析式为f（x）=ex-x+x2.

对f（x）=ex-x+x2 （x∈R）求导可得f′（x）=ex-1+x. 因为ex，x均在R上单调递增，所以f′（x）=ex-1+x在R上单调递增.令f′（x）=0，解得x=0.因为f′（x）在R上单调递增，所以当x<0时， f′（x）<0；当x>0时， f′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

第（2）问分析：

f（x）≥x2+ax+b即ex-x+x2≥x2+ax+b，整理得ex≥（a+1）x+b（x∈R）.这个不等式中含有两个参数a，b，如何确定它们之间的关系，求出（a+1）b的最大值呢？

如果仅从代数的角度来解读这个不等式，那么问题确实会显得比较抽象.但换个角度，如图1所示，作出曲线y=ex与直线l：y=（a+1）x+b的图象，分析两者间的位置关系，似乎能找到一些“蛛丝马迹”.我们可以据图猜想：

（1） 由于ex≥（a+1）x+b恒成立，所以直线l：y=（a+1）x+b应始终位于曲线y=ex的下方，且其斜率k=a+1不能小于0 （如图1所示，直线m就不满足题意）.

（2） 在所有始终位于y=ex下方且斜率都为k（k=a+1>0）的直线l中，与y=ex相切的那条直线l0具有最大的纵截距b.

如果以上猜想能够得以证明，则当（a+1）b取最大值时，a+1>0，且a+1是直线l0的斜率，b为直线l0在y轴上的截距，两者均可用直线l0与y=ex的切点坐标来表示，再将a+1与b相乘，就能得到一个一元函数.于是问题就变成了求一元函数最大值的问题！

第（2）问解：

f（x）≥x2+ax+b恒成立即ex≥（a+1）x+b恒成立.

若a+1<0，则当x趋近于-∞时，（a+1）x+b趋近于+∞，此时ex趋近于0，故ex≥（a+1）·x+b不恒成立.

当a+1>0时，由图1可知在曲线y=ex下方的直线l：y=（a+1）x+b有无数条，即存在无数组参数a，b使ex≥（a+1）x+b恒成立.为了求得（a+1）b的最大值，我们可以分两步走：第一步，在所有具有相同斜率k （k=a+1>0）的直线中，求b的最大值；第二步，让a+1变化，求（a+1）b的最大值.

如图1所示，在所有斜率k=a+1>0且在曲线y=ex下方的直线l中，与曲线y=ex相切的那条直线“最高”，即纵截距b最大.我们可以在曲线y=ex上找到一点（t，et），使该点处的切线l0平行或重合于l.

对y=ex求导可得y′=ex，故点（t，et）处的切线斜率为y′=et，只要使et=a+1，就能使直线l0平行或重合于直线l.由直线l0过点（t，et）且斜率为et可得直线l0的方程为y-et=et（x-t）.令x=0，可得l0在y轴上的截距b0=et（1-t）.

经过以上讨论，我们知道，当正数a+1确定时，若ex≥（a+1）x+b恒成立，则b有最大值b0=et（1-t），此时a+1=et.这样，问题就转化为求et·et（1-t）的最大值了.

设h（t）=et·et（1-t），则h′（t）=e2t（1-2t）.令h′（t）=0，解得t=.当t<时，h′（t）>0，h（t）单调递增；当t>时，h′（t）<0，h（t）单调递减.故h（t）max=h=，即（a+1）b的最大值为.

当a+1=0时，（a+1）b=0<.

综上可得，（a+1）b的最大值为.

小结： 例题难就难在出现了两个参数a，b，对于制约条件ex≥（a+1）x+b，即使直线y=（a+1）x+b的斜率k=a+1确定，纵截距b仍有无数个取值.通过作图，我们发现在这无数条满足条件的直线l中，能使b最大的那条直线就是y=ex的切线.由此深入下去，可将关于两个参数的最值问题简化为一元函数的最值问题.在分析过程中，我们除了使用了数形结合法，还运用了“两个参数先定其一”的方法，即“逐步调整”的策略.综观整个解题过程，是图象让我们不再迷惘，是导数让猜想获得证明：前者引路，后者践行.

如果一个题目中抽象的数量关系能够通过图象加以呈现，我们就可以主动作图，借助图形直观地猜想结果并设计解题程序，然后通过缜密的推理和计算来达成目标，这就是数学家常说的“大胆猜想，小心求证”.

如果一个函数问题含有两个参数，我们可以徐徐图之，先假定其中一个参数是确定的，再观察另一个参数的变化对问题的解的影响.找到该参数的最优解后，将它固定，并在这种情况下回头讨论前一个参数的变化对问题的解的影响.

要证明一个函数不等式，如果该函数是高于二次的多项式，或者其解析式中除多项式外同时含有指数函数、对数函数或三角函数等，难以用普通方式处理，我们就可以借助导数讨论不等式对应函数的单调性和极值，以解决问题.