数学教学中的拓展与提升

范达江

数学教学的目标是使学生获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，并运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。这就要求教师在课堂教学中从学生的认知特点、身心发展规律出发，结合知识的横向、纵向联系，把教材中的隐性知识适时、适度地展现出来。这就是我们常说的拓展提升。课堂拓展提升是落实课程目标的重要抓手，是课堂教学走内涵发展的必由之路。

一、知识拓展，提升学生的思维水平

知识是数学学习的基础，是数学学习目标实现的载体。因此，数学拓展提升应先从知识拓展开始。对知识的迁移、综合、延伸、拓展，既可培养学生运用知识的能力，也可让学生所掌握的知识系统化、网络化。

（一）对新概念、新定理和与之相关的旧概念、旧定理进行比较、辨别、总结、归纳、类比，并形成更新的概念、定理，提升学生的归纳类比能力

这一点较适用于概念课。比如在学习了“一元二次方程的定义”后，可让学生联系一元一次方程的定义进行比较分析，再引导学生对照一元一次方程、一元二次方程的定义，讲出一元三次方程、一元四次方程等一元高次方程的定义。又如在学习了“垂径定理”后，让学生对定理的条件、结论进行分解，并尝试进行重组，进而得出“垂径定理”的推论。该推论把“与圆有关的性质”几乎都涵盖其中了。

（二）通过对例题、习题的一题多解、一题多变、多题一解等的变式训练，提升学生的开放意识和发散思维

这一点适用于概念课、复习课等各种课型。例如在浙教版《数学》（八上）“7.3 一次函数（1）”中有一个例题：

按国家2008年3月1日起实施的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至2000元部分的税率为10%。（1）设全月应纳税所得额为x元，且500

教学中，教师可先介绍课本解法，再引导学生不按（1）小题的解析式解答（2）小题，而是直接按照税收法则计算，然后再比较两种方法，让学生感受到用函数模型解决问题的优越性。在此基础上，就（1）小题进行变式训练，把题中的x变为个人的工资，其他条件不变，求出y关于x的函数解析式和自变量的取值范围。然后，再探讨（2）小题的解法是否有变化。这样的拓展可使学生的思维得到有效训练。

（三）通过知识间的横向、纵向综合运用，提升学生的正迁移能力

这一点较适用于复习课。如上了“勾股定理”后，可以给出如下系列问题：（1）请同学们在方格纸上表示，，2；（2）请同学们求由，，2三条线段所围成的三角形的面积；（3）请同学们求出这条边上的高。这样，通过有梯度的系列问题的拓展，学生会从数形结合的角度更加深刻地认识勾股定理。

二、文化拓展，提升学生的数学思想修养

数学学习的过程中蕴含着许多文化，通过不断发掘拓展，能让学生不仅领悟到数学的本质，还可领悟到人的思想、品德、人生观、价值观等。

（一）向学生介绍数学名人名家的生平、趣闻，鼓励学生阅读数学科普读物、数学网站等，让学生体验数学发生、发现的情景

例如在学习“平面直角坐标系”时，可向学生介绍迪卡尔和他的《几何学》，使他们明白迪卡尔是第一个建立坐标思想、第一次使数和形统一起来的数学家。又如在学习“有理数”时，可以让学生经历数的产生过程，使他们产生探索数学、科学的神往。

（二）挖掘某些特殊的数学知识，激发学生的爱国热情，陶冶学生的思想情操

在“勾股定理”的教学中，教师可向学生介绍多种证法，其中我国赵爽的“弦图证法”比美国的“总统证法”早好几百年。与之类似，祖冲之发现圆周率也比其他国家早好几百年，还有鸡兔同笼、韩信点兵等经典命题对开创数学发展史产生了深远的影响，等等。介绍这些可以让学生体会到中国古代数学家的超人智慧和辉煌成就，从而激发民族自豪感和传承中国数学文化的激情。

三、实践拓展，提升学生的数学体验

数学来源于生活实践，又服务于生活实践。数学教学必须关注生活实践，提升学生的数学体验。

（一）从生活生产实践中引导学生发掘题材，从中找到数学的模型去解决实际问题

在“反比例函数”的教学中，笔者出了这样一道题：

病人吃下医生规定的药剂量后，血液中的含药量与服药的时间成正比，当服药时间为45分钟时，血液含药量达到最高为90个单位，然后血液中的含药量与服药后的时间成反比。当血液含药量不低于60个单位时，为药效发挥最佳时期。请问药效发挥的最佳时间是几分钟？

看到这样的题目，学生的学习热情高涨，感受到了数学的趣味与妙用。这样的拓展，有助于提升学生运用数学模型解决问题的意识和数学建模能力。

（二）运用现代信息技术，拓展教学资源，为达成教学目标提供充分的感性材料

在教学“统计”时，如果只靠课本上的教学资源，感性材料的数量是绝对不够的，而且仅靠这些东西也容易造成学生的片面理解，导致在实际生活中很难自如地运用知识。如果运用现代信息技术，引导学生从网上寻找各种所需资料，同时寻找一组数据并绘制出自己喜欢的统计图。这样，一个更加广阔的世界就展现在了学生的面前，有助于激发学生了解统计、概率知识的兴趣，提升学生对“统计”这部分内容的直观感受与理解水平。

（三）发挥数学的基础学科作用，注重与横向学科的联系，实现跨学科的综合

在学习“分式”时，引入并联电路的电阻计算；学习“函数”后，引入电压、电阻、电流间的关系，密度、质量、体积间的关系，质量、重力、重力加速度间的关系；学习“乘方”后，引入细胞分裂的过程及其计算；讲到“探索确定位置的方法”时，联系世界地图的经纬网……这样的跨学科综合，让各学科之间的联系更为紧密，从而摆脱过去那种学科间壁垒森严的孤立局面，建立起学科间互相渗透的互通局面，使学生感觉到数学的效用，提升跨学科综合运用数学的能力。

最后，需要指出的是，为了更好地实现课程目标，数学课堂上的拓展提升在操作中还要注意以下几点。一是拓展切忌偏重于形式。为了突出重点、解决难点，教师在教学中常常会拓展一些与原题相似或者能升华数学思想、体现数学本质的问题让学生进行比较。这有利于对数学思想方法的深层理解，可如果操作不当，却会适得其反。所以，拓展不能只重形式，而要注重挖掘数学内涵、揭示数学本质。二是拓展不能偏重于深度。拓展得太深，对学生来说就会难度过大，无法适应，结果反而是影响了课堂教学目标的完成。三是拓展不能忽视随机生成。课前备课所准备的各种预设活动再充分，也不能把课堂的各个环节都考虑到。学生是活生生的有思想的人，课堂中难免会出现课前备课所想不到的情况。这就要求教师根据临时出现的各种情况作出恰当、合理的反应，并作进一步的拓展。