借助几何直观 积累问题解决经验

朱向明

问题解决的经验是一种重要的数学活动经验，它主要包括发现问题和提出问题的经验、分析问题和解决问题的经验，这些经验的积累与形成既离不开大量问题解决过程的体验，也与小学生的认知规律密切相关。低年级学生以直观形象思维为主，而“几何直观”可以把复杂的数学问题变得简明、形象。下面以苏教版二年级下册“求比一个数多或少几的实际问题”为例，谈谈在教学中怎样借助几何直观帮助学生积累问题解决的经验。

一、 借助几何直观表征实际问题，积累发现问题和提出问题的经验

在问题解决的教学中，我们可以在问题表征阶段，通过多种方式帮助学生积累发现问题和提出问题的经验。

1.直观表征封闭结构的实际问题，积累提出问题的经验

在低年级，学生所接触的问题多是封闭结构的实际问题，两个条件正好能够提出一个问题。为帮助学生积累提出问题的经验，在本课教学中，笔者多次将封闭结构中的信息与问题分步呈现，给予学生根据信息提出问题的机会，以便于学生借助直观表征结构相对封闭的实际问题，积累“提出问题的经验”。

例如，课始，教师借助教材的主题情境直接出示两排花片，直观表征结构封闭的“求一个数比另一个数多（少）几的实际问题”，让学生在表述图意的基础上提出问题，进而通过“不计算，怎样看出多摆的个数”来，引导学生直接关注多出的部分。这样处理既为新知的建构激活了相关经验，又给学生提供了根据信息提出问题的机会。

再如，巩固练习的第一个环节，安排的是“摆一摆”的活动。其中第一次摆一摆，要求 “第一行摆红花片，摆6个，第二行摆黄花片，黄花片比红花片少2个”。借助直观的实物，先动手操作摆出黄花片，再根据情况引导学生提出问题：“黄花摆了多少个？”

2.直观表征开放结构的实际问题，积累发现问题的经验

相对于从封闭结构的实际问题中提出问题，从开放结构的实际问题中发现问题则难度更大。在本课教学中，我主要通过增、减实际问题的信息等方式引导学生经历“对信息解读、建构过程中主动发现问题”，以此帮助学生积累发现问题的经验。

例如，第二次“摆一摆”，要求“第一行摆红花片，摆6个，第二行摆黄花片”。这里给出的条件只有一个。学生在试摆中发现，无法摆出黄花片。在此基础上，引导学生猜猜看黄花片可能怎样摆，把你的想法摆出来，让大家猜一猜你是怎样摆的。这样的教学，通过前面信息完整的实际问题，到信息不全的实际问题，结构由封闭到开放，学生在操作中产生了强烈的反差刺激，有利于学生在对比中积累发现问题的经验。

再如，教学“想想做做第3题”时，教师巧妙开发教材空间，让学生主动发现 “问题无解”。教师先是隐去教材中小灰兔的话（如图1），让学生发现“没法解决这个问题”，接着引导学生猜一猜“小灰兔可能怎么说”，在这个过程中，学生发现问题和提出问题的能力得到了培养。

二、 借助几何直观理解数量关系，积累分析问题和解决问题的经验

数学问题解决的教学核心是理清数量间的关系。任何一道数学问题都是由数量关系和情境两方面构成。问题的求解，在于透过对情境的理解掌握数量关系，在分析问题和解决问题的过程中借助几何直观，通过操作、比较、拓展等方式为低年级理解数量关系，进而构建模型提供支撑。

1.在操作中积累分析问题和解决问题的直观表象

低年级儿童的思维特点主要以形象思维为主，动手操作是其获取数学知识的主要途径，但教学不能停留在操作层面，而应借助操作积累丰富的表象经验。

解决例题“小华摆了多少个”时，可先提出不同层次的要求：“可以借助花片摆一摆，也可以不用花片，在脑中想一想怎样摆”，接着引导学生同桌间互相说一说怎样摆的（一人说，一人在脑中想），进一步丰富表象经验的积累。

解决例题“小平摆了多少个”时，教师则直接提出要求：“不动手，你能把小平摆花片的情况在脑子里想出来吗？”引导学生逐渐摆脱实物直观，强化表象在解决问题中的作用，再次为分析和解决“求比一个数多（少）几的实际问题”积累丰富的表象经验。

巩固练习的第一环节，教师仍然安排了操作活动，第一个操作是对本课新知的及时巩固，第二个操作则再次着眼表象经验的建立和加固，由一位学生汇报自己的操作，其余同学则想象是怎样摆的，并列式解答。

在上述层次递进的操作活动中，学生借助初级层次的几何直观（实物一一对应），逐步建立起了分析和解决“求比一个数多（少）几的实际问题”的活动经验和表象经验，对“求比一个数多（少）几的实际问题”数量关系的理解也逐渐清晰而深刻起来。

2.在比较中形成分析问题和解决问题的认知经验

比较是一切理解和思维的基础。在分析问题和解决问题的过程中，通过引导学生在比较中研究数学问题之间的共同点，分析它们之间的不同点，可以帮助学生逐步形成分析问题和解决问题的认知经验，形成较为明晰的数量关系。

首先是图形和文字的比较。运用的前提是理解。教学想想做做第1题时，教师为了防止学生在问题解决过程中“依葫芦画瓢”，于是先放手让学生独立完成，再动态给出“直条图”（如图2）。

在直条图出现以后，教师及时引导学生理解图意：“你能看着这个直条图说一说它的意思吗？”然后让学生再看着直条图复述图意，从而认识到“直条图把题目中的两个条件和一个问题都表示出来了”。通过图形与文字的对比，引导学生经历一个由图到文字的过程，让学生再次从半抽象半直观的直条图回到原来的问题情境之中。学生借助直条图这一几何直观的工具，加深了对“求比一个数多（少）几的实际问题”数量关系的理解，分析问题和解决问题的认知经验由文字层面进入到结构层面。

其次是图形与图形的比较。在初步看懂直条图的基础上，教师利用想想做做第2题设计了层次递进的练习，先是将教材中的情境图变为情境加直条图，一方面及时加深对直条图的认知与理解，另一方面再次体会求比较量的数量关系。紧接着，教师变换素材（如图3）。

由浇花到拍球，情境变化了，但是数量关系不变，学生在口述图意及解决问题的基础上自主发现：“两道题说的事虽然不同，但是数量关系是相同的，解决问题的方法也是相同的。”从而突出解决问题中“数量关系”的核心作用。

3.在拓展中提升分析问题和解决问题的认知经验

在运用几何直观方法思考问题、解决问题的时候，观察、想象等手段也必定相伴而行。在前面两个层次的教学活动中，学生对直条图的认知与运用、对数量关系的理解足以帮助学生解决本类型的实际问题。但教学并没有止步于此，而是顺势更进一步——“只看直条图，你能不能根据这幅图（如图4）再编一道这样的问题呢？”

学生不仅要深刻理解直条图，而且还要与生活经验相对接。问题虽然不同，但是使用了同一幅直条图。这样的教学一方面突出了体会直条图这一数学模型在解决问题中的价值，而且渗透了无限量纲的思想，更为关键的是，学生只有深刻理解了“求比一个数多（少）几的实际问题”的数量关系，才能将此数学模型应用到深广的生活背景之中。在这样的拓展练习中，学生刚刚形成的分析问题和解决问题的认知经验得以及时提升。

问题解决经验的获得不是一蹴而就的，而是要反复经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。在实际教学中，我们可以借助几何直观的手段通过多种形式引导学生在多样的数学活动中主动尝试、体验和探索，以此帮助学生积累问题解决的经验，丰富和提升学生的数学素养。

（注：苏教版小学数学出现线段图是在三年级上册，这里给出的是直条图，介于文字与线段图之间，比文字抽象，比线段图直观。）