等量电荷连线上及中垂线上的问题比较

徐海涛　臧坤峰

中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）06-0264-02

1 等量同种电荷

如图1所示两等量正电荷固定在空中A、B两点，过AB连线中点作AB的中垂线MN。

1.1 关于电场强度大小及方向。

⑴AB连线上：

①由电场线的疏密，易知，A→B场强先减小后增大（如图2）

②推理：由于AB连线中点处场强为0，故可知连线上A→O，E逐渐减小到0，O→B，E由0逐渐增大。

③数学推导：设AB=L，在OA处取一点C，C到A的距离设为x，则Ec=kQx2-kQ（L-x）2，易知，x↑（即A→O） →Ec↓，同理可知OB段场强变化，O →B，E↑。

④方向：OA段及OB段场强方向均指向O。

⑵中垂线上：

①由电场线的疏密，易知，O →∞，场强先增后减。

②推理：O点场强E0=0 ，无穷远处E∞=0 ，故0→∞ ，场强E一定是先增后减，（某位置E存在最大值）

③数学推导：如图3，设AB=2x，在中垂线上取一点D，设DA连线（或DB连线）与AB成θ角。由对称性知

EA=EB=kQ（xcosθ）2=kQ·cos2θx2

得ED=2·EA·sinθ=2kQx2·cos2θ·sinθ=2kQx2（1-sin2θ）sinθ

④方向：沿中垂线指向无穷远。

1.2 关于各点电势的大小。

由电场强度的方向易知

①中垂线上由0→∞ ，各点电势逐渐减小，到 ∞ 时电势为0，其余各点电势均为正值。

②连线上由A→B，各点电势先减小到O点，再增大，O点电势最小，由①知且为正值，其余各点电势均为正值。

2 等量异种电荷

如图4所示，两等量异种电荷固定在空中A、B两点，过AB连线中点作AB的中垂线MN。

2.1 关于电场强度大小及方向。

（1）AB连线上：

①由电场线的疏密易知，A→B，场强先减小后增大（如图5）。

O点处电场线最稀疏，故O点场强最小。

②数学推导：设AB=L，在OA处离A点x远处取一点C，则

EC=kQx2+kQ（L-x）2。

③方向：各处场强方向均由A指向B。

（2）中垂线上：

①由电场线的疏密易知由O→∞ ，场强逐渐减小（如图5）

②数学推导：如图6，设AB=x，在中垂线上取一点D，设DA连线（或DB连线）与AB成θ角。

③方向：垂直中垂线。（平行AB）

2.2 关于各点电势的大小。

由电场强度的方向易知

①中垂线上各点电势相等，即中垂线为等势线，各点电势相等且与 ∞处电势相等为0。

②连线A→B，电势逐渐减小，A→O，各点电势为正值，O→B，各点电势为负值。

只要弄清楚两电荷连线和中垂线上各点场强的情况及各点电势的情况，其他问题如电荷在某处的受力情况，运动的加速度情况，电场力做功情况，电荷在各点的电势能情况等就可迎刃而解。

例1. 如图7所示，P、Q是等量的正点电荷，O是它们连线的中点，A、B是中垂线上的两点，OA

A.EA一定大于EB，φA一定大于φB

B.EA不一定大于EB，φA一定大于φB

C.EA一定大于EB，φA不一定大于φB

D.EA不一定大于EB，φA不一定大于φB

解析： P、Q所在空间中各点的电场强度和电势由这两个点电荷共同决定，电场强度是矢量，P、Q两点电荷在O点的合场强为零，在无限远处的合场强也为零，从O点沿PQ垂直平分线向远处移动，场强先增大，后减小，所以EA不一定大于EB.电势是标量，由等量同号电荷的电场线分布图可知，从O点向远处，电势是一直降低的，故φA一定大于φB.

答案： B

例2. 如图8所示，两个等量异种电荷在真空中相隔一定距离，OO′代表两点电荷连线的中垂面，在两点电荷所在的某一平面上取图示1、2、3三点，则这三点的电势大小关系是（ ）

A.φ1>φ2>φ3 B.φ2>φ1>φ3

C.φ2>φ3>φ1 D.φ3>φ2>φ1

答案：A

解析 本题所涉及的是带等量异种电荷周围的电场线和等势面，先画出带等量异种电荷周围的电场线和等势面如图9所示，根据沿着电场线方向电势越来越低，知φ1>φ2>φ3.

例3（2010·上海单科）三个点电荷电场的电场线分布如图10所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则（ ）

A.Ea>Eb，φa>φb B.Ea

C.Ea>Eb，φa<φb D.Eaφb

解析： 由图可以看出a处电场线更密，所以Ea>Eb，根据对称性，a处的电势应与右侧负电荷附近对称点的电势相等，再根据沿电场线方向电势降低可以判定φb>φa，故C项正确.

答案： C