例说初中数学难题的解题技巧和专题训练

梁桂清

初中数学考试，一般都把试题分为容易题（基础题），中档题以及难题。近年初中数学考试中，难题一般都占全卷总分的四分之一，难题不突破，学生是很难取得考试好成绩的。

初中数学考试中的难题主要有以下几种：1、思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。2、题意新或解题或解题思路新的题目。3、探究性或开放性的数学。

针对不同题型要有不同的教学策略，无论解哪种题型的数学题，都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能（对数学概念的较好理解，对定理公式的理解，对定理公式的证明的理解；能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题），所以对学生进行“双基”训练很必要。当然，初三毕业复习第一阶段都是进行“双基”训练，但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化，复习效果才好。

多年教学实践证明，针对难题进行专题复习是很有必要的，只要复习得好，对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的。对此，我在第二阶段复习中要对学生针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。当然，这种训练也要针对学生的“双基”情况和数学题型，这种训练要注意题目的选择，不只针对考试，也要针对学生思维的不足，一定量的训练是必要的，但要给出足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结，只有多反思总结，学生的解题能力才能提高。老师要注重引导，不能以自己的思路代替学生的思路，因为每个人解决问题的方法是不一定相同的。

初中数学试题命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学对初中数学基础知识的掌握情况，试题当然都离不开初中的基础知识。所谓难题，只是笼上几层面纱，使我们不容易看到它的真面目。我们老师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱，把握它的真面目。叙述已经掌握了所有初中数学的基础知识，有一定的解题技能，只要我们对学生的引导和训练得当，我们的学生一定能在考场上取胜。

对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，并从中培养学生解题的知觉思维。应当先把难题进行分类。然后进行分类训练。在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程，一类题目写一两题就行了，其他只要求学生能较快地写出解题思路，回去再写出详细的解题过程。

我认为可以将初中考试中的难题分以下几类进行专题复习：

第一类：综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题

这类难题的数学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答。

例2.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆。已知从甲仓库调运一辆到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县B县的运费分别为30元和50元。

（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y的关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过900元。问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？

教学引导：（1）先把题目的数量关系弄清楚，引导学生把本题数量关系表格化。（2）引导学生写出y与x的函数关系式后，运用函数的性质解答题目的后两问。

附解答过程：

解：（1）y=30x+50（6-x）+40（10-x）+80（2+x）=20x+860

（2）20x+860≤900，x≤2，∵0≤x≤6，∴0≤x≤2

因为x为非负数，所以x 的取值为0，1，2。因此，共有3种调运方案。

（1）因为y=20x+860，且x的取值为0，1，2。由一次函数的性质

得x=0时，y的取值最小，y的最小值=860（元）。此时的调运方案是：乙仓库的6辆全部运往B县，甲仓库的2辆运往B县，10辆运往A县，最低运费为860元。

评议：本题运用函数的思想，可以给解题带来了简便。

第二类：开放性、探索性数学难题。

无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键。

例3.请写出一个图象只经过二、三、四象限的二次函数的解析式。

教学点拨：二次函数的图象只经过二、三、四象限，就是不能经过第一象限，即当x>0时，y<0.什么样的解析式的二次函数必有x>0时y<0，如：y=x2-2x-3）

第三类：新题型

初中考试题型再新也离不开初中的基础知识，所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识，然后运用与之相关的基础知识，通过分析、综合、比较、联想，找到解决问题的方法。

例4.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅“的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU芯片，需长、宽都是1cm的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）

教学引导：本题人人会入手做，但要按一定的顺序切割才能得到正确答案。

方法：（1）先把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 cm的圆内，如矩形ABCD.

∵AB=1，BC=10，∴对角线AC2=102+12=100+1=101<10.052.

（2）在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形。

这样新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH，其长为9，高为3，对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为102+32=100+9>10.052.

（3）同理，∵82+52=64+25=89<10.05，而92+52=81+25=106>10.052所以，可以在矩形EFGH的上面和下面分别在排下8个小正方形，那么现在小正方形已有5层。

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。因为72+72=49+49=98<10.052而82+72=64+49=113>10.052

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看作是9，每排可以是4个，但不能是5个。∵42+92=16+81=97<10.052，而52+92=25+81=106>10.052

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下1个正方形了。

所以，10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（个）。

评议：本题解题的关键是①一排一排地放小正方形，②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识。

在数学教学中，我们经常发现，讲解难题的时候，学生都能理解，但让学生再做另外一些难题的时候，学生又做不出来。这是因为，我们只是把结果告诉学生，学生解题的思维方式没有得到训练。在难题的教学中，我们不能只把结论告诉学生，更重要的是要让学生知道解题的思维方式，我们不要急于把题目的解法告诉学生，应当引导学生自己去解题，在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力，这也是新课标的要求；我们应当把教学重点放在训练学生解题的思路上，在引导学生寻找解题思路的这一过程之中，使找到开锁的钥匙。