解答题专题强化训练（一）

薛卫明

3.

某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米.

（1） 现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S△DEF的最大值；

（2） 现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值.

（1） 若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（2） 当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.718 28…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立.

5. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），它的离心率为12，一个焦点是（-1，0），过直线x=4上一点引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A、B.

（1） 求椭圆Ω的方程；

（2） 若在椭圆Ωx2a2+y2b2=1（a>b>0）上的点（x0，y0）处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；

（3） 是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

6. 已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N*）.

（1） 求a2，a3，a4的值；

（2） 求数列{an}的通项an；

（3） 设数列{bn}满足b1=12，bn+1=1akb2n+bn，求证：当n≤k时，有bn<1.