附加题命题规律与考查热点

一、考查特点与命题趋向

（一）选做题部分

1.几何证明选讲基本考查内容是：相似三角形的判定定理及性质定理、直角三角形射影定理、圆周角定理及其推论、圆的切线的判定定理及性质定理、弦切角定理及其推论等基础知识.侧重考查学生的逻辑推理与抽象思维能力.预测今年高考还会考察平面几何图形中的线段间的位置关系：平行、垂直；线段间的等量关系等.

2.坐标系与参数方程基本考查内容是：直角坐标与极坐标的互换；普通方程与参数方程的互换；直线、圆、椭圆的参数方程及其简单的应用.预测今年高考命题方向为参数方程的简单应用.

3.矩阵与变换基本考查内容是：六种常见的矩阵平面变换；逆变换与逆矩阵、特征值与特征向量及其矩阵的简单应用.预测今年高考命题方向为曲线通过矩阵的变换后新曲线有关的性质的研究.

4.不等式选解基本考查内容点是：不等式的解法，利用不等式求函数的最值，掌握用比较法、综合法、分析法等证明不等式，运用平均不等式、柯西不等式求解.预测今年高考命题方向为不等式证明.

（二）必做题部分

1.空间向量部分基本考查内容：利用空间向量的运算可以判断立体几何中的线线、线面、面面之间的位置关系（平行与垂直）；可以利用直线的方向向量、平面的法向量求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，还可以求点到直线的距离.预测今年高考命题方向还是以求角为主.

2.概率部分基本考查内容：两点分布、超几何分布、二项分布，高考对这部分的考查以运用概率的有关知识分析和解决实际问题为主.预测今年高考命题方向是n次独立重复试验（二项分布）这一模型.

二、考点分类解读

考点1几何证明选讲

例1如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.

求证：AB∥CD.

解析：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB=∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA.因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD.

点评：线段间的位置关系（平行或垂直）的推理论证主要是通过对角的等量关系的证明从而达到对线段（直线）间的位置关系或等量关系的证明，这其中常常会涉及到相似三角形判定定理及性质定理、全等三角形判定定理及性质定理、圆周角定理及其推论等等；线段间等量关系推理论证主要是把要论证的线段转化到一个三角形或一个四边形中，再利用三角形全等、圆的切线的判定定理及性质定理等有关知识来解决.这部分重点考察学生的推理论证能力.

考点2坐标系与参数方程

例2在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

解析：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφy=sinφ（φ为参数）

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

点评：直线、圆、椭圆的参数方程及其简单的应用是学习参数方程的目的，也是高考考查的重点.把直线、圆、椭圆的普通方程转化为含有一定几何意义参数的参数方程，一方面可以恰当利用参数的几何意义去直观解题，另一方面可以用坐标（即点）的形式来表示，从而可以达到减元的目的（即普通方程中x，y两个变量，代入后只有参数φ一个量）；其次也可以考查直角坐标与极坐标的互换；普通方程与参数方程互换，达到考查转化化归的能力.

考点3矩阵与变换

例3在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.

解析：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点

P′（x′0，y′0），则有x0′y0′=2001x0y0，即x′0=2x0y′0=y0，所以x0=x′02y0=y′0

又因为点P在椭圆上，故4x20+y20=1，从而（x′0）2+（y′0）2=1

所以，曲线F的方程是x2+y2=1.

点评：矩阵的变换是高考的常考点.1.点xy在矩阵变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换中得到新的点x′y′，得到新、旧两点间的关系，从而由已知曲线来研究新的曲线的有关性质；2.六种变换的几何意义是变换的几何背景；3.二阶矩阵运算及逆矩阵的定义是考察逆矩阵求法的重要知识点；4.矩阵的特征值与特征向量是矩阵简单应用的主要考查方向.

考点4不等式选讲

例4已知函数f（x）=x2+algx，对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：

（1）当a≤0时，f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）；

（2）当a>0时，f（1x1+1x2）>f（4x1+x2）；

证明：（1）f（x1）+f（x2）2=12（x21+x22）+algx1x2，

f（x1+x22）=（x1+x22）2+algx1+x22，而12（x21+x22）-（x1+x22）2=（x1-x24）2>0

所以12（x21+x22）>（x1+x22）2，又x1+x22>x1x2，得lgx1+x22>lgx1x2，又因为a≤0，所以algx1x2≥algx1+x22，综上可得f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）；

（2）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），a>0，所以函数f（x）为单调增函数，又因为（x1+x2）2=x21+x22+2x1x2>4x1x2，即x1+x2x1x2>4x1+x2，1x1+1x2>4x1+x2，

得f（1x1+1x2）>f（4x1+x2）.

点评：作差比较法证明不等式是不等式证明最基本的方法，综合法证明不等式需观察所证不等式的特征，恰当选用基本不等式运用.函数性质可求解与函数有关的不等式问题，其中函数的单调性则是解决不等式问题的强有力的手段.

考点5空间向量与立体几何

例5如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1DNM的大小为θ.

（1）当θ=90°时，求AM的长；

（2）当cosθ=66时，求CM的长.

解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

设CM=t（0≤t≤2），

则各点的坐标为A（1，0，0），A1（1，0，2），N（12，1，0），M（0，1，t），

所以DN=（12，1，0），DM=（0，1，t），DA1=（1，0，2）.

设平面DMN的法向量为

n1=（x1，y1，z1），则n1·DN=0，n1·DM=0.

即x1+2y1=0，y1+tz1=0.令z1=1，

则y1=-t，x1=2t，所以n1=（2t，-t，1）是平面DMN的一个法向量

同样可求得平面A1DN的一个法向量为n2=（-2，1，1）

从而n1·n2=-5t+1.

（1）因为θ=90°，所以n1·n2=-5t+1=0，

解得t=15.从而M（0，1，15）.所以AM=12+12+（15）2=515.

（2）因为|n1|=5t2+1，|n2|=6

所以cos=n1·n2|n1||n2|=-5t+165t2+1.

因为cosθ=66>0，所以|-5t+165t2+1|=66，解得t=0或t=12.

根据图形和（1）的结论可知t=12，从而CM的长为12.

点评：本主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般的步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论.

空间向量在立体几何中的应用，既可以证明垂直与平行，又可以计算角和距离，其主要理论依据就是向量运算的几何意义，在具体应用中要注意以下几点：

（1）平行问题向量共线，注意重合；

（2）垂直问题向量的数量积为零，注意零向量；

（3）距离问题向量的模；

（4）求角问题向量的夹角，注意角范围的统一.

考点6概率统计

例6某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18

P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02

由此得X的分布列为：

X1052-3

P0.720.180.080.02

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4-n件

由题设知4n-（4-n）≥10，解得n≥145，

又n∈N，得n=3，或n=4.

所求概率为P=C34×0.83×0.2+0.84=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.

点评：本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力.离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力.

离散型随机变量的分布列需注意：

①准确确定随机变量ξ的取值；

②要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.

数学附加题的考察虽然面广，但是仔细分析还是重点内容考察为主，在高三的复习中，只要抓住以上重点知识进行复习，必定会收效盛丰.

（作者：陈小燕，江苏省江阴长泾中学）