一道模拟试题的拓展与引伸

相关试题：

（2012年盐城市第三次模拟试题）如图，设P是△ABC内一点，

试题分析：

这是一道常见题，是以平面向量基本定理为命题依托，以向量基本运算为命题重心，着重考查学生灵活运用向量解决几何问题的能力，这也是平面向量知识点在高考试卷中经常出现的一类试题.

试题解法：

在平时课堂教学中，发现学生给出了多种解法，如特殊值法、平面几何法、平面向量法等都可以得到结果，这里不一一列举，但笔者在下文中特别向大家介绍一位学生的解法：

我们知道如果P点恰好是△ABC的重心，则PA+PB+PC=0，如图，延长AP到E，交BC于D，使PD=DE，连结BE、CE，则四边形PBEC是平行四边形，所以PB+PC=PE，又因为PA+PB+PC=0，所以PD=13AD，所以S△PBC=13S△ABC，同理可得：S△PAB=13S△ABC，S△PAC=13S△ABC，所以△APB、△BPC、△APC的面积相等.

下面只要把2PA，3PB，4PC各看作一个整体，即设2PA=PA1，3PB=PB1，4PC=PC1，构造一个新的三角形△A1B1C1（如图），点P就是△A1B1C

1的重心，所以△A1PB1，△B1PC1，△A1PC1的面积相等.而

试题拓展：

发现△APB、△APC、△BPC面积比恰好是△APB对应PC前系数，△APC对应PB前系数，△BPC对应PA前系数之比，这是不是偶然的巧合，如果不是，能不能推广成更具有一般性的结论，接着笔者又将此题稍作改动：设P是△ABC内一点，且λ1PA+λ2PB+λ3PC=0（λ1、λ2、λ2均为正实数），则S△BPC∶S△APC∶S△APB=

结果，很快就有学生给出了答案 λ1∶λ2∶λ3，或许有些学生是猜测的，但事实上用上面的方法，不难证得其结果是正确的.

因此得到如下定理：

试题引伸：

我们有了定理1，前面问题的处理就简单多了，完成上述解答后，笔者又有了进一步的思考：向量不仅平面中有，空间中也有，刚才我们解决了平面三角形中的问题，空间是否也有类似的结论，我们知道平面三角形一般对应空间的三棱锥，面积一般对应空间的体积，即将原题再进一步一般化到三棱锥，又能有何种结论呢？

证明：分二步进行

在平行四边形PBFE中，连结BE，设BE∩PF=N，连结BM，

设BM∩PF=Q，再连结MN.

因为四边形PDEC和四边形PEFB都是平行四边形，

所以M，N分别为PE、PF的中点，所以△MNQ∽△BPQ.

所以NQPQ=MNPB=12，所以PQ=23PN=13PF=13PA，所以PQ=14AQ.

因此我们又得到如下定理：

定理2设P是三棱锥内一点，若满足通过对这道模拟试题的推广，我们发现了一类问题，并得到了解决这类问题的一般方法，这样的解题活动不仅对提高数学解题能力有益，而且对数学素养的提高也有好处，数学解题能力的提升，需要在观察、比较、变化、调整、选择的过程里去感悟、去体验、去反思，只有自己不断亲历解题活动，才能得到锻炼，才能逐渐形成分析问题和解决问题的智慧.

（作者：高友华，盐城市龙冈中学）