例谈函数单调性逆定义的应用

徐振刚

摘 要：通过例题形式探讨了函数单调性逆定义的应用，既有效地避免了对函数单调性定义的应用与其逆定义的应用混为一体，教师一语带过的尴尬境况，又使学生觉得含糊不清、不知所云，造成学生在解决问题时出现严重错误的情况有所改善。所以，教师在教学中，既要强调单调性的定义应用，又要重视函数单调性逆定义的运用。

关键词：函数单调性；逆定义；解题方法；解方程；解不等式

由函数单调性的定义可以得到如下结论：设函数f（x）是定义在区间（a，b）上的增函数，则对任意的x1、x2，有：

（1）f（x1）

（2）f（x1）=f（x2）？圳x1=x2

（3）f（x1）>f（x2）？圳x1>x2

同样，对于函数f（x）是定义在区间（a，b）上的减函数，也有类似性质，逆用函数定义可以解决以下问题。

一、解方程

例1.设x、y为实数，且满足（x-1）3+1997（x-1）=1（y-1）3+1997（y-1）=-1则x+y等于多少。

解：由已知条件得：（x-1）3+1997（x-1）=（1-y）3+1997（1-y）。

设函数f（x）=x3+1997x，由于f（x）在R上是单调函数，且f（x-1）=f（1-y），所以得：x-1=1-y，即x+y=2。

二、解不等式

例2.已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，且f（x-1）

解：因为f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，

所以f（x-1）

故x的取值范围为1

例3.设函数（x）的定义域为R，当x>0时，f（x）>1，且对任意实数x、y？缀R，都有f（x+y）=f（x）f（y），证明：

（1）f（0）=1；

（2）f（x）在R上是增函数；

（3）解不等式：f（x）<■。

解：（1）在f（x+y）=f（x）f（y）中，令x=y=0有f（0）=f2（0）。

又若f（0）=0，则f（x）=f（0+x）=f（0）f（x）=0与f（x）>1（当x>0时）矛盾。所以f（0）=1。

（2）设x2>x1，则x2-x1>0，由已知f（x2-x1）>1……①

由于对一切x？缀R，有f（x）=f（■+■）=f2（■）≥0，若存在x0？缀R使f（x0）=0，则对任意x？缀R，有f（x0+x-x0）=f（x0）f（x-x0）=0。这与已知条件f（x）>1（当x>0时）矛盾。所以对任意x？缀R，有f（x）>0，所以在①式两边同乘以正数f（x1），得f（x1）f（x2-x1）>f（x1），即f（x2）>f（x1），所以，f（x）在R上是增函数。

（3）由（2）知f（x+1）>0，所以原不等式等价于f（x）f（x+1）<1……②

又因为f（0）=1且f（x）f（x+1）=f（2x+1），所以，不等式②等价于f（2x+1）

所以，原不等式的解集为{x|x<■}。

参考文献：

[1]赵学昌.重视基础提高思维能力和创新能力.中国考试：下半月，2003（06）.

[2]冯永木.例谈函数单调性定义的应用.数理化解题研究：高中版，2003.

（作者单位 陕西省西安市东方中学）