“一点法作图 ” 在三角函数图像变换中的妙用

陈光建　陈乐炳

学 315201）

三角函数是高考中的一大热点，其中三角函数图像更是三角函数中最重要的内容之一，有效利用三角函数图像是解决三角函数问题的关键，而三角函数图像变换问题一直是高中学生的薄弱环节，总会在不经意间出错，现笔者通过对三角函数图像作法的一点小改进，作三角函数图像变换问题的探讨如下：

一、一点法作图

高中数学对三角函数y=Asin（ωx+φ）的图像常采用五点法作图，其中要求学生对正弦函数的图像有所熟悉.笔者认为既然学生作图时需要对正弦函数的图像有一定的认识，那么作函数y=Asin（ωx+φ）的图像时只需确定一点即可， 故称“一点法作图”.即令ωx+φ=0，求得x=x1=-φω，在平面直角坐标系中确定点（x1，0），并在对正弦函数图像熟悉的基础上，可迅速作出y=Asin（ωx+φ）的图像.

如若需要知道该图像中（x2，A），（x3，0），（x4，-A），（x5，0）的坐标，可借助周期简单求得xi=x1+i-14T=-φω+（i-1）π2ω（i=2，3，4，5）.

二、点的定义

函数y=Asin（ωx+φ）中，在一点法作图的基础上定义点（x1，0）为函数y=Asin（ωx+φ）的第一个点， 并分别定义点（x2，A），（x3，0），（x4，-A），（x5，0）为函数y=Asin（ωx+φ）的第二，三，四，五个点.

三、“点”的妙用

例1 （2008天津卷）把函数y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）.

A.y=sin2x-π3，x∈R B.y=sinx2+π6，x∈R

C.y=sin2x+π3，x∈RD.y=sin2x+2π3，x∈R

分析 可设变换后的函数解析式为y=sin（ωx+φ），由题意可知：ω=2.而变换前后的两函数的第一个点必定重合，原函数第一个点的横坐标为0，经平移后变为-π3，经伸缩变换后变为-π6，所以2×-π6+φ=0，∴φ=π3.故选C.

变式 函数y=sin13x+π6的图像经过怎样的伸缩平移变换后可得到函数y=sin（x-π6）的图像？

分析 只要使两函数的第一个点重合即可，令13x+π6=0，x=-π2，所以原函数第一个点的横坐标为-π2，变换后函数的第一个点的横坐标为π6，比较两函数的ω值可知横坐标应缩小到原来的13，所以将-π2缩小到原来的13得到-π6，只需再向右平移π3个单位即可.即将函数y=sin13x+π6的横坐标缩小到原来的13，再向右平移π3个单位

例2 为得到函数y=cos2x+π3的图像，只需将函数y=sin2x的图像（ ）.

A.向左平移5π12个长度单位

B.向右平移5π12个长度单位

C.向左平移5π6个长度单位

D.向右平移5π6个长度单位

分析 在了解函数y=sinx和y=cosx图像的基础上可知，将正弦函数的第二个点与余弦函数的第一个点平移至重合，即可解决正弦函数，余弦函数之间的平移问题.

令2x=π2，∴x=π4，即函数y=sin2x第二个点的横坐标为π4；函数y=cos2x+π3第一个点的横坐标为-π6，将点π4，1向左平移5π12可得到点-π6，1，选A.

例3 （2009陕西卷）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R其中A>0，ω>0，0<φ<π2的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M2π3，-2 ，求f（x）的解析式.

分析 由题意，可简单求得ω=2，A=2.所以f（x）=2sin（2x+φ），而点M2π3，-2具有第四个点的特征，所以2×2π3+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π6.又因为0<φ<π2，所以φ=π6，∴f（x）=2sin2x+π6.

“一点法”与“五点法”作三角函数的图像在本质上没有多大的区别，但在实际操作过程中会大大简化作图的过程，同时也避免了太多过程而带来的错误.而在对“一点法作图”理解的基础上，灵活运用点的特征，能非常方便的解决三角函数图像变换，求解析式等问题.