逆向思维在高中数学解题中的应用分析

潘政显

一、前 言

简而言之，倒推即为逆向思维，即通过分析命题的结论，寻求结论成立的条件.高中的数学问题，很多用顺推法不易找到问题的解决方法，采用逆向思维，根据要得到的结论可以较为简单地得到解决问题的方法，从而得出问题的答案.

作为数学思维重要原则之一的逆向思维，是创造思维的重要组成，用逆向思维解决问题，通常可以获取意想不到的结果.本文结合实例探讨逆向思维在求解数学题中的应用.

二、公式、定理、定义的逆用

1.逆用公式

在数学中，存在着大量的公式，熟记数学公式是十分必要的，但是对于公式不能单一地背，应该对公式进行理解，全面地掌握公式，对关系式进行变式练习，逆用公式可以锻炼学生思维的敏捷性，加强学生对公式掌握的熟练程度，提高解题技巧.

2.逆用定理

对于定理的逆命题，不是所有的都正确，但是在高中数学教学中，教师引导学生验证逆命题是否正确，是一个有效指导学生研究新问题的方法，可以有效地激发学生学习数学的兴趣和正确运用定理解题的能力.

例如 实数l，m，n，满足m-n=8，且mn+l2+16=0，求证：m+n+l=0.

分析 用顺推法直接求得l，m，n的值，运算量很大且容易出现运算错误，简单的方法是用韦达定理的逆定理.

证明 由m-n=8可以得到m+（-n）=8，由mn+l2+16=0得到m（-n）=l2+16，则m，-n即为一元二次方程x2-8x+l2+16=0的两个根.又因为m，-n为实数，所以，Δ=（-8）2-4（l2+16）≥0，解得-4l2≥0，所以l=0，则m，-n即为一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，解得m=-n=4，则有m+n+l=0成立.

3.逆用定义

在高中数学解题过程中，使用定义法是十分常见的，但是人们往往忽视定义的逆用，逆向应用定义，可以帮助我们快捷地解答问题.

例如 通过对|1-x|-|x-4|进行化简，可以得到2x-5的结果，求x的取值范围.

分析 根据题意，可得|1-x|-|x-4|=2x-5，从绝对值概念的反方向进行考虑，可以得到以下条件：1-x≤0以及x-4≤0，解不等式组可得1≤x≤4，则x的取值范围为1≤x≤4.

三、逆向分析

在进行解答数学题的过程中，通常通过条件一步一步推得必要条件，最终得到结论.但是对于该类方法，不适用于所有的题目，一部分题目如果从条件入手，则会不知道从哪下手，根据正难则反的原则，进行逆向思考.从问题的结论出发，一步一步逆推到充分条件，最终得到题目给的条件或者有关的结论.通常我们将此称之为分析法，多用于证明不等式的成立以及几何中的分析论证等.

执果索因是分析方法的实质，通过找使得结论成立的充分条件证明结论的成立，广泛应用于证明题中，体现了逆向思维在数学解题中的应用.

四、反面求证

反面求证包括两种，即针对题目结论而逆以及针对题目条件而逆.针对题目结论而逆是通过证明结论的反面是错误的，从而得到结论是正确的，在这里，应该注意，运用反证法解决的问题通常是否定形式出现的.证明结论的反面成立，得到与公理、题设以及定义等相互矛盾的命题，即为反证法，从而可以推翻假设，肯定结论的正确性.反证法简化了很多问题.

针对题目条件而逆，通常，我们不能改变题目的条件，但是，我们可以通过两次改变，是条件回到原点的方式进行某些问题的处理，此方法适用于复杂的题目条件，以及由题目条件直接求解较为困难时，可在与原条件相反的情况下求解，得到结果后，再将其逆化处理，则可得到原题条件下的结果.

五、针对常规方法而逆

对于常规的解决问题的方法，我们很熟悉，但是如果采用常规方法时，解决问题不是特别顺利，则需要我们采用非常规的方法，简化运算难度.

六、培养学生逆向思维的方法

1.加强认识定义的内涵，重视定义的逆用

尽管某些学生可以背熟书上的定义，但是改变叙述方式后，则学生就不能熟练地应用了，所以在平时教学中，对学生对定理的理解应该加强训练.

2.逆向思维的灵感需要通过公式互逆来培养

实践证明，公式逆用是解决问题的重要方法，通过公式的逆用训练，可以提高学生思维的灵活性以及提高学生对数学知识运用的灵活性.熟练掌握可逆定理、可逆法则等可逆资源，可以使得学生的知识更加融会贯通，提高学生的学习效率，增强学生学习的自主性.

3.加强逆向思维的训练，提高学生的综合能力

这就要求教师在进行数学教学中，在整个教学过程中贯穿逆向思维的方法，通过习题对学生的逆向思维进行训练.主要可以采取以下方式：采用直观的教学方法，提高学生逆向思维的基础认识；在教学过程中不断渗透逆向思维的方法，使得逆向思维的方法深入人心.但是应该引导学生不是所有的问题都适合逆向思维，应该根据具体的问题选择合适的解题方法.

七、小 结

作为人类思维重要形式之一的逆向思维，是解决某些问题的快捷方法，同时培训学生的逆向思维不仅完善教学理念，同时对提高学生学习数学的效率有重要意义.通过逆向思维的运用，可以有效地完善学生的知识结构，使得学生的视野得到开拓，提高教师的教学效率，学生的创造思维得到开发，提高了学生学习的能动性.