从学生实际出发，构建唯真唯美课堂

王应标

在2013年“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动中，南京外国语学校郭佩华老师获得淮安赛区高中数学组一等奖。郭老师在课堂教学中，坚持“以学定教，学教相长”的理念，一切从学生的数学现实与生活现实出发，精心设计学生活动，问题创设独具匠心，观念渗透浸濡无痕，给我们展现了一堂融知识、观念、文化于一体的唯真唯美的课堂。

一、追求数学“真”的教学

1.课题引入“真情境”，给课题引入一个理由。

课题引入，即在教学的初始阶段，提出本节课要研究的问题。教材的简明性决定了教材一般不给出引入课题的理由，但是若学生学习一个课题时，不知道“为什么和为了什么”要研究某个课题，就难以促进学生形成有目的地、主动地学习当下内容的心向。教材中的问题情境是用不精确的天平称一个物体的质量，郭老师在课堂开始时，对教材设置的情境稍稍进行了修饰，设置了一张让人垂涎欲滴的草莓的照片，希望能以此吸引学生的眼球，在“味蕾”的激发下共同探讨出两个平均数的存在，一个是生活中较容易想到的估计值，另一个是由物理学知识推得的精确值，前者基于学生的生活现实，后者基于学生的数学现实，十分自然、真实地引出了本节课的两个重要数学对象——算术平均数和几何平均数。这种引入方式朴实自然，突出了学生生活现实中常常碰到的问题，更容易激活、唤起学生学习当下内容的兴趣与信心，让学生感到数学不再是枯燥无味的一些推理与计算，不是一群坐在书斋中的“怪物”想出来的一堆无聊的符号。这样的引入，正是苏霍姆林斯基所极力倡导的“领着孩子到思维的源地去旅行是具有重大意义的，这些地方，形象地说，就有滋养渴望知识的细根，这些地方就会使孩子萌发出一种愿望”。这样的引入，易于让学生摆脱功利之心的束缚而沉浸在探究学习的快乐中，走进身心自由、灵智释放之境。

2.公式探究“真思维”，思路从学生思维深处自然流淌而来。

在前面的问题情境铺设的基础上，学生开始探究草莓的精确质量。由学生已有的数学现实，学生不难得出如下结论：由杠杆原理得：l1a=xl2l1x=bl2，两式相除得：=，由x>0，得到x=。在上课伊始，学生直觉地猜想草莓的质量为，教学到这儿，学生很自然地要问与到底谁大谁小？

学生的观点：用几个特殊值代入试一试。

教师的观点：首先肯定学生的做法，让学生明白，碰到一般问题，用特值探路事实上是科学研究中最常用的方法。但教师还要让学生明白，我们的探究决不能止于特值探路，因为数学上的“真”不依赖于人们的直觉。数学是形式化的逻辑推理的结果，不是经验结论，所有的数学对象必须进行演绎证明，结论才具有可靠性。为什么数学中作为结论性的东西必须进行演绎证明，对于这一点，章建跃先生曾有过一段精彩的比喻：数学家这样“吹毛求疵”是“杞人忧天”吗？不是！应该有人来思考这些问题！试想，桥梁设计师是用标准的数学方法设计了一座桥梁，当你驾车行驶在桥上时，如果你被告知“设计师使用的数学方法是否成立还没有得到证明”，你有什么感觉？如果是乘坐飞机又怎样？……这正是爱因斯坦所说的：为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠和无可争辩性……教师在这个环节教学中，采取了说者有心，听者无意的方式，对学生进行了数学观念的濡染。

当学生明白了必须要证明≤（a≥0，b≥0）时，教师再发问：如何证明≤（a≥0，b≥0）？教师了解学生的知识储备，让学生运用已有的知识证明不等式。课堂教学中，教师给予学生充分的时间自主探究，在整个过程中，学生的思维朴实无华，证题方法从学生的思维深处自然流淌，这点堪称是本节课最大的亮点。虽然书本上给出了3种不同的标准证法，但学生的证法更开放，更自然，即便有些学生证明的书写显得不够规范和严谨。不少学生会首先把和进行平方，然后再比较，这是基于学生知识储备中“化无理为有理”的思想。此时，教师在肯定这种方法的基础上，因势利导，归纳得出“作差比较法”，进而引导学生直接作差，就得到了教材上的证法一。也有学生尝试用“分析法”去完成，这也是基于学生知识储备中“由果索因”“化未知为已知”的想法，但在书写时不能规范表述，因为学生的知识储备中没有分析法规范性的书写，这要在“选修2—2”中才进行系统的学习，因此教师没有过度提出“规范性要求”，只是根据学生现有的数学知识略加点评。

在整个教学过程中，教师始终把学生推向思维活动的前台，教师仅仅扮演一个“未知者”角色和学生一起探究，正是“善游者忘水，善击者忘剑”，学生沉浸在问题解决的思维活动中，忘记了时间，忘记了学习的压力，这不仅激发了他们的兴趣，而且增强了师生互动，改变了传统教学中直接向学生提供定义、解释概念、给出结论和陈述要点的单向、枯燥的知识传递方式。

让学生更本质地理解数学的一个有效方法是用多种方式表征同一个数学对象。为了让学生更透彻地掌握、理解基本不等式，书本上还给出了一个几何的构造法证明，但书本上是直接给出了图形和证明方法，显得突兀，郭佩华老师在这个环节的引导语可圈可点。

教师：既然称为几何平均数，那么它的几何意义是什么？的几何意义又是什么？在学生很快表示出了的几何意义后，教师再问：你能在该图的基础上得出多条，甚至无数条长度为的线段吗？此时教师应用几何画板带领学生一起参与图形的构建，寻找图形中的“算术平均数”和“几何平均数”，对于，从比较容易想到的两线段和的一半，然后推广到以中点为圆心、以为半径的圆上的任意一个半径；对于，借助于之前求精确值的过程中出现的=（这个比例关系式，教师一直留在黑板上，为学生进一步联想搭好“脚手架”，这也充分体现了教师的良好的板书艺术），利用相似三角形构造出长度为的线段（此处有学生也想到了射影定理），让这个图形动态地展示出来。这一环节的教学过程是学生一起参与的过程，探索发现过程中的每一步推进，都是学生个人或集体智慧的结晶，相比许多教师在这一部分的教材处理，让学生被动地接受一个静态的图形，教师要求学生完成一个预先构造好的模型的图形验证，郭老师这一段教学始终在与学生对话、协商，坚持只在学生处于“愤悱”之态时才稍加点拨，这样的教学，是真正充分发挥学生的主体作用，充分暴露学生的真想法、真思维，教师真正做到了“以学定教”。

二、追求数学“美”的教学

1.教师语言美，教态美，给学生以美的享受。

在课堂教学中，无论是向学生传授科学知识还是发展学生的能力、智力，都是通过教师与学生的语言来实现的，因此教师课堂话语与学生思维发展有着密切的关系。郭佩华老师向我们展示了一个高水平的数学教师的语言功力，课堂上对数学知识的阐述语言呈现出准确性、规范性、简洁性、逻辑性，既体现出“浅入深出”的特点——通过具体问题特例的大小比较，提炼出当堂课的课题“基本不等式”，又以具体知识的教学为载体，让学生体会研究数学的一般化方法（特殊问题一般化），体会数学的理性精神（直觉不可靠，数学结论必须接受演绎证明的检验），等等，达到小中见大、管中窥豹之效。

2.数学知识本身思维美，方法美，给学生以美的熏陶。

数学求真，数学中真的标准是客观的，统一的，数学美首先在于数学的“真”，数学的形式化与抽象性使得数学表现出极度的简单性、严密性、深刻性、广泛应用性，数学的这些特性无不给人以数学美感，学生在学习中的数学美感，主要指理解、认识、领悟某种数学对象内在本质、某种数学关系与结构而产生的满足感、兴奋感。本节课从公式的引入到公式的证明，自始至终不时给学生以数学美感。

著名教育心理学家奥苏伯尔说过：“假如让我把全部教育心理仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学生的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”郭老师这节数学课真正做到了这一点——以学定教。

（作者系江苏省特级教师、江苏省清江中学副校长）