找寻新知生长空间 走出“转化”平淡感受

朱志明

平行四边形面积计算公式的推导教学，一般的流程为：先让学生对已知底、高和邻边的平行四边形的面积进行猜想，再组织学生验证，最后强化将平行四边形通过“割补”变成长方形的方法，分析两种图形的面积与长、高之间的关系，从而得出平行四边形的面积公式。这样的设计至少有两大缺陷，一是难以使“未教先知”的学生参与探究；二是难以消除学生“为什么只能通过割补‘转化，而不能通过拉动‘转化”的疑虑，以至于在以后的练习时，有些学生频频出现用两邻边相乘计算平行四边形面积的情况。如何改进教学设计，弥补这些缺陷呢？笔者作了如下探索和思考。

一、设疑惑——促进学生自觉探索怎样“转化”

【片段一】

呈现情境：淘气在计算下面的平行四边形面积时，想到了小曹冲把难以称的大象，转化成称容易称的石头，便把平行四边形拉成长方形加以计算。他认为平行四边形可以拉成长是8厘米、宽是5厘米的长方形，于是得出了平行四边形的面积是40平方厘米的结论。

板书：

师：你认为淘气的算法对吗？

（大部分学生认为淘气的算法对，个别学生认为不对）

师：有什么办法来说明淘气的算法对或是不对呢？老师建议以四人小组为单位，取出信封里的材料加以研究（信封里有：大小为1平方厘米的正方形格子图，有长是8厘米、宽是5厘米的长方形，有底、邻边和高分别是8、5和4厘米的平行四边形，有剪刀等学具）。

学生合作交流.

师：经过研究，你认为淘气的算法对吗？

生：不对！

师：请你们说说验证的方法。

生：我们用数格子的方法加以验证。长方形的面积是：8×5=40（平方厘米），而平行四边形的面积是32平方厘米。

师：这里的“8”和“5”是什么意思？

生：8厘米是长方形的长，5厘米是长方形的宽。

师：从面积单位的意义角度分析，长方形的长8厘米，表示一行占有1平方厘米的小正方形8个，宽5厘米表示占有五行1平方厘米的小正方形。

（课件演示：长方形一行占有8个1平方厘米的小正方形，有五行）

师：平行四边形的面积你们是怎样数的？

生：没满1格算半格。

师：如果按照这种数法，平行四边形只占一行，有几个1平方厘米的小正方形，有几行？

生：一行占有8个1平方厘米的小正方形，有四行。（师课件展示）

师：还有其他验证方法吗？

生：我们是用剪拼法加以验证的。（生一边说，一边操作）

板书：

师：前面同学们说到，用数格子法算平行四边形的面积时，不到一格算半格。你们觉得有没有更好的数法？

生：用割补后再数。（生展示后，课件再次演示）

【反思】在平时的实践中发现，学生对四边形的变形是有疑惑的，总认为“把平行四边形拉成长方形只是形状变了，而周长和面积不变”。创设上述情境，旨在让学生在“大疑”中，引发矛盾冲突，产生探究动机，激发探究热情。不仅使得“平行四边形怎样转化就可以求得面积”成为学生自觉的追求，而且纠正了学生原有的把平行四边形拉动“转化”成长方形面积不变的错误经验，还使学生初步明确“割补”等积“转化”的策略。

二、深思考——让学生理解为什么要这样“转化”

【片段二】

师：为什么把平行四边形拉成长方形面积会增大呢？

生：原来平行四边形中长为5厘米的一条边变成了长方形的宽，也可以说原来高是4厘米变成了5厘米，高增大了，而底没有变。

师：如果把平行四边形像这样拉下去（如下图），所得到的平行四边形与原平行四边形比较面积会怎样呢？

生：面积越来越小，甚至为零。

师：为什么呢？

生：高越来越小，甚至为零。

师：刚才，我们研究了用拉的方法把平行四边形变成长方形，从而求得面积不行。那么，平行四边形怎样转化可以求得面积呢？

生：沿高剪开拼成长方形。

（教师一边比画，一边问：沿这样的高剪开可以吗？沿这样的高剪开可以吗？……教师再一边比画，一边问：这样拼行吗？……）

小结：沿内高剪开平移拼成长方形。

师：沿内高剪开平移拼成的长方形与原来的平行四边形比较面积相等吗？为什么？

生：面积相等。因为这个长方形是由平行四边形剪开平移拼成的，两者相比较不多也不少。

师：通过刚才的研究，我们明白了平行四边形可以割补成一个面积相等的长方形。请同学们观察下面的平行四边形，说说每个图形会与长和宽分别是多少的长方形面积一样大，并指出是怎样转化的。

学生回答、比画、想象后，电脑演示割拼过程：

师：根据这些平行四边形割补情况，请同学们大胆地猜想：平行四边形的面积可以怎样计算？

生：平行四边形的面积等于底乘高。

师：为什么可以这样计算？

生：因为长方形的面积等于长乘宽，平行四边形与沿高剪开拼成的长方形相比较：平行四边形的高与长方形的宽相等，平行四边形的底与长方形的长相等，而两个图形的面积相等。

板书：

师：在平行四边形的面积公式中，你觉得知道什么可以求什么？公式是怎样的？

生：知道底和面积可以求高，h=s÷a……

【反思】“思考” 是经验获得的重要环节。上述的深层探讨、猜想与类推等思考活动，使学生把具体操作内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的求平行四边形面积的公式，不仅使学生对“转化”知其然，而且知其所以然。其中，“类推其他平行四边形的割补过程”的活动，先让学生思考、想象，再演示“规范”的电脑动作来准确引导学生动作思维的走向，既促使学生在“特殊化归为一般”的深刻体会中逐步内化为抽象的经验，还关注了空间观念的培养。

三、巧拓展——催生学生提升、应用“转化”经验

【片段三】

师：今天你学会了什么？

生：我学会了计算平行四边形面积的公式。我学会求平行四边形面积公式的推导方法：沿高剪开平移转化成长方形。

师：是不是一定要沿内高剪开平移才能转化成长方形呢？

生：也可以剪一小块旋转而成。

师：应怎样剪呢？

生：沿中点剪，剪缝要垂直另一组对边。

师：这样的剪法一定要通过旋转才能拼成长方形吗？请你们试一试。

生：这样的剪法，用平移、旋转都可以转化成长方形。

课件演示：

师：为什么要转化呢？

生：平行四边形面积的计算公式是要研究的新内容，而长方形面积的计算公式是已经知道的内容。

板书：未知→已知

师：“转化”这一好方法，对你今后的学习有什么启示呢？

生：三角形通过剪拼，看一看能否转化成平行四边形，从而求得面积。

生：能否把两个完全一样的三角形转化成平行四边形，从而求得三角形的面积。

……

师：这些方法是否可行，请同学们加以研究。

【反思】应用意识是数学基本活动经验的核心成分，正如朱德全教授指出的“应用意识的生成便是知识经验形成的标志”。在上述教学中，教师拓展了把平形四边形转化成长方形的方法，为学生探索三角形和梯形的面积计算公式打开了思路；关注了学生应用意识与应用能力的培养，加深了学生对“转化思想” 的本质理解和“转化”经验的积累。

（浙江衢州市衢江区教研室 324000）