浅谈“三角形三边关系”的教学

孙碗

【关键词】三角形 三边关系 特点 重点 关键点

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）07A-0064-02

在“三角形三边关系”的教学中，学生对于“三角形两条边的长度和大于第三边”的真正含义比较难理解。怎样在教学过程中对这个问题进行有效的突破，下面谈谈个人的一些教学体会。

一、聚焦三边关系的特点，寻找最佳突破口

三角形三边关系的特点是“三角形两边的和大于第三边”。在教学开始时，让学生用小棒摆三角形，小棒的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米不等，这样就出现有些小棒可以围成三角形，有些不能围成三角形。出现这两种不同的情况，应该选哪一种作为突破呢？有一位教师是这样教学的：

师：你们用小棒摆的图形中，边的长度有什么关系？

根据学生回答，教师在各自的图形下板书算式：

师引导学生观察图①、图②，提问：这两种情况为什么能围成三角形呢？学生回答：因为每两条边的和都大于第三边，能围成三角形。

师再指图③、图④问：这两种情况为什么不能围成三角形？是哪两边的长度和没有大于第三边呢？

学生发现图③、图④因为较短两条边之和不大于第三边，所以不能围成三角形。

教师引导学生小结：三角形中，任意两条边的长度和大于第三边。所以，判断能否围成三角形，只要看较短两边的长度和是否大于第三边就可以了。

在上述的教学中，看似学生顺手、课堂顺利、教师顺心，似乎没有什么欠缺和漏洞，但总有一种强拉着学生“吃快餐”的感觉。学习过程中我们感觉不到学生主动探知的欲望，而是教师让观察什么，学生就观察什么；教师引导发现什么，学生就发现什么。学生的思维被“绑架”着去思考教师的问题。在设计课堂教学的同时，教师没有意识到学生也被“设计”了。

为了让学生产生探究的欲望，笔者进行了这样的设计：

游戏导入：全班分成4个组，把任意的3根小棒分给每个组，比一比哪一组围成三角形的速度快。

学生操作几分钟后，有些组利用小棒围不成三角形，然后引导学生讨论：为什么有两组的3根小棒围不成三角形呢？怎样改变小棒的长度就能围成？三条边的长度要满足什么条件才能围成三角形？

学生在富有挑战的游戏中，迅速把思维聚焦到不能围成三角形的原因分析上。在寻找原因和解决问题的过程中，学生明白了：不是任意长度的3根小棒都能围成三角形，只要其中有2根小棒的长度和小于或等于第三边，就不能围成三角形。

这样，学生真正找到了不能围成的原因，很好地理解了围成三角形所需要的三边长度关系。以“不是”来诠释“是”，比不厌其烦地强调和枯燥无味地重复，更易于让学生理解。

二、抓住三边关系的重点，引导学生全面感知

从不能围成三角形的图形上，学生直观地看到了：因为其中一组两条边的长度之和没有大于第三条边，所以不能围成三角形。这种认识还是肤浅、片面的，学生的眼睛里看到的、大脑中想到的，只有不能围成的两条边，其他两组两条边的长度和是否也要大于第三条边呢？他们基本不会去思考。如何让学生由对其中两条边长度和的关注，成功“引渡”到对每两条边长度和的关注？为此，笔者设计这样的教学：

月月拿着7厘米、2厘米、4厘米的3根小棒，联想到刚学过的三角形三边关系，她兴奋地大叫：“7+2>4，这3根小棒能围成三角形。”同学们，你们认为月月说得对吗？

此时，可留足时间让学生畅所欲言，鼓励他们先动手操作，再发表自己的观点。

讨论后，学生发现：虽然7+2>4，7+4>2，但是2+4<7，只要有其中两边的长度和不大于第三边，就不能围成三角形。

为加深理解，再利用课始的四幅图，进行验证。通过学生的操作与比较，全面感知了“三角形两条边的长度和大于第三条边”中的“两条边”是指任意的“两条边”。

三、突出三边关系的关键点，实现方法的自主优化

三角形任意两条边的长度和都大于第三边，才能围成三角形，其中关键点就是较短两条边的长度和大于第三边。如何突出这个关键点，让学生主动产生优化的需要，并被大部分学生接受呢？

笔者采用了设置障碍的方法，让学生自己找寻解决问题的出路：出示一些小棒，让学生判断哪些能围成三角形，哪些不能？

为了更有说服力，再设计这样的活动：提供标有厘米刻度的小棒，让学生任意剪出三根整厘米的，根据较短两条边的长度和与第三边的关系，判断能否围成三角形，再进行验证。

【反思】

笔者曾想，三角形三边关系的教学，有必要这么曲折吗？先初步感知其中两条边的长度和不能等于或小于第三边，再全面认识任意两条边的长度和大于第三边，最后自动优化出只要较短两条边的长度和大于第三条边就可以围成三角形。为什么不可以开门见山，避繁就简，在学生操作出不能围成的情况时，就顺势引导得出：较短两条边的长度和大于第三边呢？这样不是更加省时省事吗？

带着上述疑问，笔者重新审视三角形的三边关系，觉得本节课的探讨可分为三个不同的层次，虽然重点都在三角形两边的长度和与第三边的关系上，但每一层次的侧重点却有所不同。

第一层次：学生凭借直观操作看到了：因为存在着两边的长度和小于或等于第三边，三条线段不能首尾相连或不能形成三个角，所以不能围成三角形。至于其他的任意两边的长度和与第三边有什么关系，学生不会考虑。学生对三角形边的关系的了解是表象的、片面的、肤浅的，所以在这一层次就迫不及待地让学生得出较短两边长度和大于第三边就能围成三角形，难免会“揠苗助长”。

第二层次：通过有意设计月月认为7厘米+2厘米>4厘米，所以7厘米、2厘米、4厘米三条线段一定能围成三角形的故事的探讨，让学生意识到仅有一组或两组两条边的长度之和大于第三边是不行的，必须满足任意两条边的长度和都大于第三边，才可以围成三角形。这样，学生的注意焦点自然而然就从对一组边的片面关注过渡到对三组边的全面关注。学生也从肤浅的数学直观感觉，深入到对三角形三边关系基本特征的理性思考。

第三层次：让学生在繁琐的计算中产生优化方法的需求。因为每次都计算三组算式，太繁了，也没有必要，只要找到其中一组两边长度和不大于第三边就行了，从而升华到只要看较短两边的长度和是否大于第三条边就可以了。这一判断方法，个别学生能够发现，但大部分学生理解起来还是比较抽象。为了更有说服力，笔者安排学生剪下整厘米的三根线段，让学生先根据较短两边的长度和与第三边的关系进行判断，再动手围一围，以验证判断的正确性。

这样，学生的认识经历了由肤浅到深刻、由片面到全面，循序渐进、螺旋上升的过程。如果省略了认识过程，学生错过对三角形三边关系认识的许多体验，就会失去很多探究的乐趣！

三角形三边关系的认识，过程虽然曲折，但却不可简化。那么，为什么教材上的结论是“三角形两条边的长度和大于第三边”而不是“较短两条边的长度和大于第三边”呢？笔者认为，三角形两条边的长度和大于第三边是三角形三边关系的基本特性，而“较短两条边长度和大于第三边”是由基本特性优化出的简便判断方法，对学生的理解要求比较高，可供学有余力的学生探讨、研究。（责编 韦建成）