运用常数列巧解递推关系的数列通项

郑飞波

摘 要：非零常数列虽然很简单，但在某些递推数列中巧妙地运用，能起到事半功倍的效果；巧妙树立递推的“形式”，建立递推的“内涵”是很重要的. 常数列是等差数列、等比数列的“融合体”，除了解决常规转化等比、等差关系的数列递推，还能解决不能用等差、等比关系解决的一些特殊递推数列.

关键词：常数列；递推关系，数列通项

无穷数列a，a，a，…，称之为常数列. 常数列的通项为an=a，n∈N*，用递推式表示：an+1=an，

a1=a，n∈N*.若a≠0，则此时的常数列既是公差d=0的等差数列，又是公比q=1的等比数列. 虽然非零常数列很简单，但在某些递推数列中巧妙地运用，能起到事半功倍的效果；巧妙树立递推的“形式”，建立递推的“内涵”是很重要的.

[?] 巧用常数列转化等差、等比数列定义

化归思想是数列学习的重要思想，通过一些特殊的递推关系将数列转化为两个基本数列——等差数列和等比数列得到求解. 其实，等差数列与等比数列也可以转化为更简单的常数列来求解，即非零常数列是这两个数列的“融合体”.

结论1：若等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，则数列{an-nd}是项为a1-d的常数列.

证明：an-an-1=d，n≥2?an-nd=an-1-（n-1）d，n≥2，显然数列{an-nd}为项是a1-d的常数列.反之亦然.

结论2：若等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则数列

是项为的常数列.

证明：an=an-1q，n≥2?=，n≥2，显然数列

为项是的常数列. 反之也亦然.

[?] 巧用常数列递推解决一些特殊递推关系的数列

例1 （2005年高考）设正项数列{an}的首项为a1=1，满足：（n+1）a-na+an+1an=0，则它的通项公式是an=________.

分析：[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0，由an>0得（n+1）an+1=nan，所以，数列{nan}为项是1×a1=1的常数列，即an=，n∈N*.

例2 （江西2008年高考理科第5题）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln

1+

，则an=（ ）

A. 2+lnn B. 2+（n-1）lnn

C. 2+nlnn D. 1+n+lnn

分析：凑形an+1-ln（1+n）=an-lnn，即数列{an-lnn}是项为2的常数列. 选A.

说明：运用累加法思想或累乘法思想求解递推关系的数列，转化为常数列后求解比较简便. 例如，已知数列{an}，分别满足下列条件时递推数列可转化为常数列的递推形式：

说明：反比例模型的递推关系的数列是重要的递推形式，在历年的高考题中经常出现.

2. 一阶线性递推关系的数列

例5 （重庆2010年高考理科第21第一问）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1·（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0. 求{an}的通项公式.

解：由结论2得=+2n+1，再由结论1可得-（n+1）=-n+2n. 凑成 -（n+1）-n（n+1）=-n-（n-1）n，可得数列

说明：Sn与an一般均有两种求解方向，以上两个例题的两种解法均有异曲同工之美，凑成常数列的“形式”过关，才能把握住实质上的递推！

递推关系的数列是高考、自主招生、数学竞赛的常考知识点，也是高中数学的主干知识. 常数列是等差数列、等比数列的“融合体”，除了解决常规转化等比、等差关系的数列递推，还能解决不能用等差、等比关系解决的一些特殊递推数列. 因此，在变形要求上更加苛刻！在加深“递推”的含义上，要有更深的理解. 在“无形”中寻求“有形”，是处理数学递推公式“化生为熟”、把未知转化为已知的基本技能.