特殊化思想在高考中的应用

罗永高

摘 要：著名美国数学家波利亚把一般化、特殊化及类比并列称为“获得发现的伟大源泉”. 恰当地运用特殊化思想解答数学问题往往能收到事半功倍的效果.

关键词：特殊到一般；化归特殊问题；特值验证；着眼最值情况

问题是数学的心脏，那么解题的思想方法就是数学的灵魂. 美国著名数学家波利亚把一般化、特殊化及类比并列称为“获得发现的伟大源泉”. 波利亚在《数学与猜想》中列举了许多生动的事例，说明数学界的先辈们如何从对简单、特殊事物的考察中发现普遍的规律，也就是说运用特殊化思想导致了许多伟大的发现.

盘点2012年的高考试题及模拟试题，遵循能力立意，引领少教多悟的原则. 别具匠心地设计了一些立意高远、背景公平、内涵丰富、设问通俗、解答灵活的创新试题，如何在比较短的时间内，快捷、准确地得到解决问题的思路及答案，恰当地运用特殊化思想往往会收到事半功倍的效果.本文结合一些典型例子试图对特殊化思想，做一番剖析.

[?] 从特殊到一般

特殊问题像一把钥匙、一面镜子，可以为我们看清一般问题助一臂之力，为探索解题途径提供线索，并成为解决问题的突破口.

例1 （镇海中学2012年数学测试卷第10题）设R表示一个正方形区域，n是一个不小于4的整数. 点X位于R的内部（不包括边界），如果从点X可引出n条射线将R划分为n个面积相等的三角形，则称点X是一个“n维分点”. 由区域R内部的“100维分点”构成集合A，“60维分点”构成集合B，则集合{x

x∈A且x?B}中的元素个数是（ ）

A. 1560 B. 2320

C. 2480 D. 2500

分析：令正方形的边长为1，考虑n=4的情形，从点X可引出4条射线将R划分为4个面积相等的三角形，即每一个三角形的面积为，也就是说点X到每一边的距离相等，得4维分点只有一个.

考虑n=8的情形，从点X可引出8条射线将R划分为8个面积相等的三角形，即每一个三角形的面积为. 由对称性，这8条射线分别与一组对边组成4个面积为的三角形，4个三角形按2，2；1，3分组. 得点X到每一组边的距离比可以为1∶1，1∶3. 所以只要将正方形分成4×4的方格，正方形内9个格点就是8维分点.

由上可得，4n维分点的个数为（2n-1）（2n-1）. 即集合A，B的元素分别为49×49个，29×29个，去掉重复的81个，得2320个.

评注：本题通过考察n=4，n=8的情形，发现4，8维点的特征，进而得到n维点的个数. 坚持以考察特殊情形作为探索的起点，从中寻求启示，是解决这类问题的有效手段.

例2 （福建2012年高考数学理科试题第19题）椭圆E：+=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=. 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

（1）求椭圆E的方程.

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q. 试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

分析：（1）+=1.

（2）假设坐标平面内存在定点M，由图象的对称性可知点M在x轴上.

取点P（0，），则Q（4，）. 得以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0），M2（3，0）.

所以若符合条件的点M存在，且点M的坐标必为（1，0）. 以下只要证明·=0即可.

评注：圆过定点问题由于涉及三个量k，m，xM . 要在k，m的变化中找到一个常量xM，难度较大. 通过选取已知椭圆上的两个特殊点，作两个圆得定点，然后再证明，是解决圆过定点问题的一个十分有效的方法.

[?] 化归特殊问题

将一般问题化归为特殊问题是处理数学问题的一个有效途径，要实现有效地化归，必须抓住两个环节：其一，通过观察，恰当地选出一种基本问题，并进行解答；其二，在化归上下工夫，有时还需做一番精巧的构思，才能把各种一般问题化为特殊问题进行解决.

例3 （自编）已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，过点P且与平面α和平面β所成角都是30°的平面γ的个数为（ ）

A. 2个 B. 3 个

C. 4个 D. 5个

分析：不妨假设P∈l，过点P作直线l⊥γ，则过点P与α，β所成角都是30°的平面γ的个数问题就转化为过点P与α，β所成角都是60°的直线l的条数问题.

若过点P作a⊥α，b⊥β，则a，b所成角为50°，则过点P与α，β所成角都是60°的直线l的条数问题就转化为过点P与a，b所成角都是30°的直线l的条数问题. 过点P作a1∥a，b1∥b，则过点P与a，b所成角都是30°的直线的条数问题就转化为过点P与a1，b1所成角都是30°的直线问题. 如图1，以点P为顶点，直线a1，b1为轴作顶角为60°的圆锥，由图可知两个圆锥侧面有且只有两条交线.

评注：通过作面的垂线，把原题转化为过定点与两直线所成定角问题. 构造特殊的模型圆锥是解决这类问题的一个最直观的方法.

例4 （宁波2012年十校联考数学试题第22题）已知函数f（x）=（x3+2x2+5x+t）e-x，t∈R，x∈R.

（1）当t=5时，求函数y=f（x）的单调区间；

（2）若存在实数t∈[0，1]，使对任意的x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值.

分析：（2） f（x）≤x?t≤xex-x3-2x2-5x，问题转化为对任意的x∈[-4，m]，xex-x3-2x2-5x≥0. 显然，当x=1时，左边=e-8<0，不成立. 当对任意的x∈[-4，0]，xex-x3-2x2-5x≥0?ex-x2-2x-5≤0. 对任意的x∈[-4，0]，ex≤1，x2+2x+5≥4. 即ex-x2-2x-5≤0成立. 因此整数m的最大值为0.

评注：通过对问题的不断观察，逐步将复杂的问题转化为一个显而易见的问题，避免了讨论与证明.

[?] 利用特值验证

当高考中的客观题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中的变化的不定量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）进行处理，即可以得到正确的结果. 真正实现小题不大做.

例5 （浙江2012年高考数学理科试题第17题）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=______.

分析1：令f（x）=[（a-1）x-1]（x2-ax-1），若x>0时均有f（x）≥0，则a>1. 令x1=>0，x2，x3为x2-ax-1=0的根，因为x2·x3=-1，不妨设x2>0，x3<0. 由f（x）的图象可知当x1，x2重合时满足条件，即x1=是x2-ax-1=0的根，得a=.

评注：通过对三次函数零点的分析，发现只有一种特殊情况符合条件，即两个正零点相等.

分析2：令f（a）=（xa-x-1）（xa-x2+1），则当x>0时均有f（a）≤0. 由-x-1=-x2+1，得x=2. 即当x=2时，f（a）=（2a-3）2≤0. 得a=.

评注：通过把不等式转化为以a为主元的不等式，观察数学式的结构发现当x=2时，f（a）为平方式. 看似难以想象，实际在情理之中.

例6 （上海2012年高考数学理科试题第14题）如图2，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________.

分析：由AB+BD=AC+CD=2a可知点B，C在以A，D为焦点，长轴为2a的椭球上运动，则B，C到AD距离的最大值为b=. 过BC作垂直于AD的面交AD于点E，则VABCD=S△BCE·AD，因此当BE=CE=时，△BCE的面积最大为.

所以VABCD的最大值为.

评注：要使体积最大，只要△BCE的面积最大，显然对于底边为定值的等腰三角形，只当腰长最大时，面积最大.

[?] 着眼最值情况

着眼问题达到最值时对应的变量的值，并把问题的最值作为分析问题的出发点. 一个十分有意义的事情，数学上的许多性质，往往会通过一些变量达到最值时反映出来. 这就使我们可以以它们为重点考察对象，来寻找问题的突破口.

例7 （浙江2012年高考数学理科调研试题第17题）如图3，已知圆心角为120° 的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点.点D，E分别在半径OA，OB上. 若CD2+CE2+DE2=，则OD+OE的取值范围是______.

思路3：考虑到已知条件与所求结论对于x，y具有轮换性.当x=y时满足题意，当x=y时代入得x=y=，即x+y=. 观察图，当点D，E分别在半径OA，OB上运动，点D，E中有一个与O重合时，x+y=.

评注：这是巧合吗？其实偶然中有必然，确实数学中的许多美妙的性质都会在最值上反映出来.

例8 （南京2012年二检第13题）在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·+2的最小值是______________.

分析：问题可转化为已知△PBC的面积为1，求·+2的最小值.

由题设知，△PBC的面积为1，以B为原点，BC所在直线为x轴，过点B与直线BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.

[?] 考察极限位置

题中变化的不定量选取一些极限值时，通过观察它们的变化趋势，也会取得意想不到的效果.

例9 （宁波2012年十校联考数学试题第16题）已知A，B分别是双曲线C：x2-y2=4的左、右顶点，且P是双曲线上在第一象限内的任一点，则∠PBA-∠PAB=__________.

分析：当点P越来越接近点B时，可知∠PBA→，∠PAB→0?∠PBA-∠PAB→.

例10 已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若+=2m，则m=__________.

分析：当A→，B→，C→时，→（+）. 代入条件得m=1，即m=sinθ.

以上通过两个方面对特殊化思想进行了剖析. 一方面是通过对特殊问题的研究，摸索出一些经验，获得一点启示，再以所获得的启示作为钥匙，打开问题的答案之门.当然如何将一般问题转化为特殊问题，如何觅得启示，是解决问题的至关重要的一环.

另一方面是把特殊对象作为分析问题的出发点，通过观察它们变化趋势及一些性质，来寻找问题的突破口和答案. 当然，如何找到合适的特殊对象，如何发现一些性质，是解决问题的关键.

遗憾的是，现在许多学生缺乏运用特殊化思想的意识，更谈不上运用特殊化思想解决问题. 经常出现小题大做，常常找不到解决问题的思路. 确实需要在平时的教学过程中加以渗透和专门的训练. 最后，让我们记住华罗庚的一段话：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”一语道出了特殊化思想对学习数学的重要意义.