高中三角函数中的基本数学思想探析

郑丽敏

在高中数学中，三角函数占据了很大的一部分，作用非常重要，也是高考的必考内容。高中阶段时间紧任务重，要想学好三角函数，掌握一定的技巧是很有必要的。理解了三角函数中的数学思想，可以帮助学生增强理解能力、解题能力，能够更好地学习研究三角函数。

一、高中三角函数蕴含的数学思想的意义

数学思想是数学科学的精髓，也是数学研究的本质。在学习数学知识的过程中，掌握知识固然很重要，但是仅以死记知识为目的是不能掌握数学灵魂、真正学懂数学、提高数学素养的。只有在掌握数学知识的同时，融入数学思想，培养自己的解题模式和数学思维，才能把知识变为一种能力，提高自己的学习能力，才能不断提高数学素质。

三角函数作为高中数学的一大分支，其重要性就不过多地解释了。要想学好三角函数，并能进行实际应用，掌握一定的解题技巧和方法是必要的。数学思想运用在三角函数各种问题中，人们可以通过基本思想，结合三角函数自身，总结归纳出解题方法和技巧，从而提高自己的数学思维能力。数学思想在三角函数中的渗透，意义非同寻常，不仅可以帮助学生们解决实际问题、处理疑难问题，还可以提高学生实际应用能力，在解决问题的过程中增强学生的数学运用能力和知识创新能力。

二、高中三角函数中的基本数学思想的体现

数学思想种类非常多，不同的数学分支中体现着不同的基本数学思想。高中三角函数中也蕴含了许多基本数学思想，这些数学思想的运用给三角函数带来了很好的解题方法，下面将逐一介绍这些数学思想。

（一）数形结合思想

数形结合，顾名思义就是通过数与形的结合运用来解决数学问题，即利用图形进行分析，分析后的问题可以通过数据进行计算。数形结合思想作为一种非常重要的数学思想，可以把抽象的问题具体化，具体体现在图形中。三角函数问题一般都需要作图，通过作图使图形与问题结合，从而能更直观地表现问题。三角函数图象，可以直观地展现问题，有利于选取不同的方法来解决问题。

（二）转化思想

转化思想在数学研究中是一种很重要的方法，通过合理地转化，把要求解的问题转变成已知的问题，经过不断地转化与归纳，那些不被人们熟悉、比较复杂的问题可以变得简单、熟悉起来。在三角函数中，很多复杂的问题都可以经过转化与归纳变得更容易解决。

转化的实质就是用简单的问题去替代复杂困难的问题。三角函数的转化可以表现为：多个三角函数向单一函数的转化，特殊函数向一般函数的转化，抽象函数向具体函数的转化等。在转化时要注意运用转化思想，注意转化的等价性。转换思想在三角函数中的应用非常重要，通过诱导公式可以将任意三角函数转化成锐角三角函数，而锐角三角函数比较容易计算；利用倍角公式、和差公式可以将一些角转化为特殊角；还可以运用三角公式将复杂的形式转换为简单三角函数形式。转化思想的运用，不仅可以培养学生的转化思维，还可以提高解决问题的应变能力，锻炼了学生的思维，从而提高解题技巧。

（三）分类讨论思想

分类讨论的方法可以缩小解题范围，使相似的问题归类，复杂问题得以简单化。通过分类，可以将问题由繁到简、化整为零，最终实现逐个击破。分类讨论思想在三角函数中的运用要遵守三个重要的原则：不遗漏、不逾越范围和不重复分类。

（四）函数思想

三角函数是一种特别的函数，其解决方法自然离不开函数思想。可以利用函数思想求解某些三角函数的参数值；可以利用一元一次方程、一元二次方程来求解三角函数问题；还可以联立几个三角公式，通过消元达到求值求解的目的，消元法是函数思想在三角函数问题中的最直接的应用体现。在求解三角函数时，函数思想的运用能够把各种关系转化为抽象的函数关系，通过分析解决函数问题，使得三角函数问题最终得到解决。

（五）逆向思维的思想

在解决问题时，如果无法进行下去，可以采用逆向思维进行解答。逆向思维是在正面方法无法进行下去且没有其他更好的方法时采用的解题思维。当三角函数问题遇到死路，无法按常规进行下去时，可以采用逆向思维进行思考，寻找解题的新途径，创新出新的思路，因而能有效地解决困难问题。

（六）建立模型的思想

建立模型在数学实际问题解决中有着很重要的作用，通过建模，可以把实际问题转化在数学模型上。三角函数问题的解决，同样可以通过建模来完成。运用建模思想，可以把具体数据转化在图形上，分析解决图形的过程就能够解决三角函数的问题。

数学思想的形成是在学生学习数学知识，并在反复的实际应用过程中潜移默化而成的。数学思想在三角函数中的渗透也是在三角函数不断发展过程中形成的。要想渗透高中三角函数的应用，提高学生的成绩和教师的教学成果，就要掌握其中蕴含的数学思想，并且能够把思想贯穿到解决问题的始终，做到学习知识的同时提高自己的数学能力。