不等式·证明

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（ ）

A. 三角形 B. 梯形

C. 平行四边形 D. 矩形

2. 分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的（ ）

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

3. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A. 两条直线平行，同旁内角互补，由此若[∠A]，[∠B]是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]

B. 某校高三（1）班有55人，高三（2）班有54人，高三（3）班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人

C. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D. 在数列[an]中，[a1=1，an=12（an-1+an+1）] （[n]≥2），由此归纳出[an]的通项公式

4. 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）

①结论相反判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论

A. ①② B. ①②④

C. ①②③ D. ②③

5. 用数学归纳法证明不等式[1+12+14+…+12n-1][>12764（n∈N?）]成立，其初始值至少应取（ ）

A. 7 B. 8

C. 9 D. 10

6. 用反证法证明命题“已知[x∈R]，[a=x2-1]，[b=2x+2]，则[a，b]中至少有一个不小于0”反设正确的是（ ）

A. 假设[a，b]都不大于0

B. 假设[a，b]至多有一个大于0

C. 假设[a，b]都大于0

D. 假设[a，b]都小于0

7.如果命题[P（n）]对[n=k]成立，则它对[n=k+1]也成立，现已知[P（n）]对[n=4]不成立，则下列结论正确的是（ ）

A. [P（n）]对[n∈N*]成立

B. [P（n）]对[n>4]且[n∈N*]成立

C. [P（n）]对[n<4]且[n∈N*]成立

D. [P（n）]对[n≤4]且[n∈N*]不成立

8.若把正整数按下图所示的规律排序，则从2013到2015年的箭头方向依次为（ ）

1 4 → 5 8 → 9 12

↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ …

2 → 3 6 → 7 10 → 11

A. ↓→ B. →↓ C. ↑→ D. →↑

9. 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：明文[加密密钥密码]密文[发送]密文[解密密钥密码]明文. 现在加密密钥为[y=loga（x+2）]，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为（ ）

A.12 B.13 C.14 D.15

10. 记凸[k]边形的内角和为[f（k）]，则[f（k+1）-f（k）]等于（ ）

A. [32π] B. [π] C. [32π] D. [2π]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 观察下列不等式：[1+122<32]，[1+122+133<53]，[1+122+132+142<74]，…，按此规律，第五个不等式为 .

12. 数式[1+11+…]中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式[=t]，则1+[1t=t，则t2-t-1=0，]取正值[t=5+12]，用类似方法可得[2+2+2+…]= .

13. 用数学归纳法证明“1+2+3+…+[n]+…+3+2+1=[n2（n∈N*）]”时，从[n=k]到[n=k+1]时，该式左边应添加的代数式是 .

14. 将连续整数1，2，…，25填入5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最 小值为 ，最大值为 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[x≥1，y≥1，]证明[x+y+1xy≤1x][+1y+xy].

16. （10分）设[a3+b3=2]，求证[a+b≤2.]

17. （12分）用数学归纳法证明[42n+1]+[3n+2]能被13整除，其中[n∈N*].

18. （12分）已知数列[an]满足[an+1=12an2-12nan+1]（[n∈N+]）且[a1=3].

（1）计算[a2，a3，a4]的值，由此猜想数列[an]的通项公式，并给出证明；

（2）求证：当[n≥2]时，[ann≥4nn.]