浅谈高中数学知识点之间的关联学习

张恒茂

摘 要：运用几种不同知识对一道不等式证明题予以证明，针对学生在做题中不能很好地联系知识点来解题，给予启发，希望能拓展学生的思维能力。

关键词：不等式证明题；函数；方程；几何；概率

在高中数学学习中，我们发现高中数学知识涉及很多方面，如：函数、方程、几何、三角函数、概率、不等式等。在学习中，除掌握这些知识点及运用以外，最重要的是把学到的知识运用到解决具体的试题中，并在此基础上获得一种思路与方法。学生在解题时，往往容易思路僵化，片面联系知识，而造成解题困难。学生如何在做题中才能避免这种困境呢？这就需要学生平时养成多思考、多联系、多归纳、多总结的习惯。

在高中数学必修五第三章不等式教学中，发现如下这样一个例子，我们如何去证明呢？本文尝试用不同知识来进行解决，以达到引发大家思考与探索的目的。

例：设变量x、y、z在区间（0，1）中取值，试证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1。

一、利用不等式的性质

证：由题知（1-x）（1-y）（1-z）>0可得：x+y+z-xy-yz-zx<1-xyz<1，得证。

二、利用变量替换

证：不妨设x=，y=，z=，其中：a，b，c均为正数，代入整理有：b+bc+c+ca+a+ab

三、利用函数的性质

证：不妨设f （x）=x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）-1=（1-y-z）x+y（1-z）+z-1，其中x∈（0，1），从而有：①当1-y-z=0时，f （x）=-yz<0；②当1-y-z≠0时，∵f （0）=-（1-y）（1-z）<0，f （1）=-yz<0，∴对？坌x∈（0，1）都有f （x）<0，得证。

四、利用几何图象性质

证：如右图，正三角形ABC边长为1，设点A1、B1、C1分别在边BC、CA和AB上，且有AC1=x，CB1=y，BA1=z，显然S△AB1C1+S△BA1C1+S△CA1B1

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<

即x（1-y）+（1-z）+z（1-x）<1

五、利用三角函数性质

证：不妨设x=sin2A，y=sin2B，z=sin2C，则

原式=sin2Acos2B+sin2Bcos2C+sin2Ccos2A

=sin2Acos2B+sin2Bcos2C+（1-cos2C）（1-sin2A）<1-sin2Asin2B+cos2C（sin2Asin2B）<1，得证。

六、利用概率知识

证：设随机事件A，B，C相互独立，且P （A）=x，P （B）=y，P （C）=z，由概率加法公式有：P （A+B+C）=x+y+z-xy-yz-zx+xyz。

又0≤P （A+B+C）≤1，所以0≤x+y+z-xy-yz-zx+xyz≤1，即证。

七、利用基本不等式与二次函数的结合

证：用基本不等式x（1-y）≤（）2，当且仅当x=1-y时，等号成立。

x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）≤（）2+y（1-z）+z（1-x）

=x2+（1-x）（1-z）+z（1-x）=x2-x+1<1得证。

在解题时要注意三个充分，即充分了解题设要求，充分反省相关概念，充分利用知识性质。我们对类似题目，围绕这几个方向展开，解题的思路就变得清晰了。类似的问题还很多，希望大家在教学中不断发现与总结，为学生提供好的经验和方法。

（作者单位 山西省平遥县平遥二中）