如何理解函数的概念

罗红梅

摘 要：函数概念是数学中的一个极其重要的基本概念，它贯穿于整个中学数学学习，是中学数学中的核心概念，也是近现代数学的基石.然而函数概念的学习又是一大难点，很多学生都反映函数的概念十分抽象，很难把握，初学者很难抓住其内涵.根据教学经验，结合实际，将函数概念与实际相结合，从而使学生更好地掌握其定义.

关键词：函数概念；高中数学；集合

在高中教材中，函数的概念是这样的：给定非空数集A，B，如果按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：x→y=f （x），x∈A.集合A叫做函数的定义域，所有y组成的集合叫做函数的值域，记为C.

所以，要把握函数的概念需要明确两点：（1）A、B都是非空数集.（2）集合A中的任何元素（任意性），通过某种对应关系，在B中都要有唯一确定的元素与之对应（唯一性）.从函数的定义可以看出，不能一对多，否则与唯一性相悖，但是可以多对一.下面我将从两方面来分析如何加深对函数概念的理解.

一、客人住宿理论

我们可以将函数的概念与客人住宿问题联系起来.将客人用数字编号并看成集合A中的元素，将房间用数字编号看成集合B中的元素.首先，每个人都必须要安排一个房间（对应于任意性），其次每个人都只能住一个房间（对应于唯一性，不能一对多），再次多个人可以住同一个房间（即允许多对一）.所有客人的集合即是定义域，所有住了人的房间的集合即是值域.

下面，我们通过两道例题来分析一下：

例1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ）

A.A={ -1，0，1 }，B={ 0，1 }，f：A中的數平方

B.A={ 0，1 }，B={ -1，0，1 }，f：A中的数开方

C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数

D.A=R，B={ 正实数 }，f：A中的数取绝对值

解析：按照客人住宿理论，选项A，-1，1对应于1，0对应于0.相当于每个客人都安排了房间，且-1，1两个客人住同一个房间.

选项B，由于1开方后有1和-1与之对应，故相当于一个人住了两个房间，一对多，不符合函数定义.

选项C，由于0在B中没有元素与之对应，即没有给客人0安排房间.

选项D同C.所以正确的选项是A.

例2.下列表示集合A到集合B的函数的是（ ）

解析：选项A，客人1一个人住了两个房间，违背了唯一性.

选项B，每个客人都安排了房间，并且住了同一个房间，属于多对一的情况，是函数.

选项C，3没有安排房间，与任意性不符.

选项D，5没有安排房间，与任意性不符.

二、竖直判断法

鉴于函数不能一对多的原则，判断给定的图象能不能表示函数图象，可以用竖直判断法.即用任意一条平行于y轴的直线与给定的图象相交，若存在交点个数不止一个的情形，则可以断定该图像不是函数图象.

例3.下列图象表示y是x的函数的是（ ）

解析：用竖直判断法，由于A、B、D平行于y轴的直线与图象都有两个或两个以上交点，很显然只有C可以表示函数的图象.

函数是数学中极其重要的概念，学好函数对后续的学习具有举足轻重的作用，本文列举的两种方法是掌握函数概念的重要方法.客人住宿理论主要针对具体给定的某种对应关系，关键是抓住每个人都要安排房间，且不能住多于一个房间.竖直判断法主要针对给定图象，判断图象是否为函数图象.虽然两种方法适用对象不同，但是它们都能很直观地帮助初学者理解函数的任意性、唯一性、确定性等性质，是值得推广使用的方法.

（作者单位 中国人民解放军装备学院昌平士官学校）