《实变函数》课程教学改革探索

潘义前

摘 要：针对新升本科院校数学本科专业学生学习实变函数课程存在困难的现状，从教学方法与教学内容上提出了一些探索性的改革。

关键词：实变函数；教学改革；教学方法

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2013）08-0207-02

实变函数课程是高等学校数学本科专业重要的专业基础课之一，通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握贝格测度和勒贝格积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为学生进一步学习现代数学理论打下基础。实变函数中的数学思想与方法密集，是开展理论和应用研究必不可少的基础课程。同时，它又是数学分析课程中许多重要概念的加深与拓广，融合在实变函数理论中的思想方法和数学语言对学生的数学素养与能力培养有着举足轻重的作用。与数学分析、高等代数等课程相比，实变函数内容更抽象，理论更深刻，论述更精密，普遍认为是数学专业本科阶段最难学习的课程之一。作为任教老师，应当认真研究这门课的教法，上好这门课，使学生能真正理解这门课的思想实质。

随着中国高校十多的快速发展，高等教育已从精英阶段迈入了大众化发展阶段。新升本的地方院校学生来源分布广，生源质量与老牌本科院校的相比还是有一定差距。目前，实变函数的课程体系、教学内容和教学方法都还是沿用精英教学时期的，就此，结合自己的教学经历，参考其他教师的教学改革研究成果 [1-8]，提出了一些教学改革探索。

一、着力做好基本概念和基本理论的教学

注重实际应用背景知识及几何直观的解释，强调讲清楚概念与方法的来源，使抽象概念的引入具体生动，克服学生在数学上认知与理解的困难。注重方法、技巧及思维的启发引导，强化习题训练，巩固深化基础知识和基本方法，指导学生解决实际应用问题。

（一） 要善于运用类比方法，讲透基本概念

实变函数课程的基本概念特别多，而且比较抽象，因此，在基本概念的教学过程中，要讲究一些教学方法，要思考怎样讲解才能使得学生更容易理解。因为实变函数课程是数学分析课程的继续与深化，所以许多概念这两门课程之间都有很多相似之处。从而在讲解一些概念时，可以把数学分析中相关的概念先复习一篇，然后通过类比的方法给出实变函数课程中的新概念。比如，在讲解依测度收敛时，如果直接写出它的定义形式，学生一时是比较难接受的，我们可以通过类比的方法，先复习数学分析中的收敛的定义，然后给出依测度收敛的定义；在讲解可测函数的积分的概念时，老师可以先给出数学分析课程中闭区间上连续函数定积分的定义，然后讲清它们之间的联系和区别。

（二）定理教学要注重思维启发

教师在定理教学时要让学生明确该定理在本章节的地位、作用以及它的应用价值。要强调定理间的内在联系和逻辑结构，避免孤立对待每个定理。在定理证明的教学中，首先要让学生明确证题的思路以及最终目标，一般采用分析的方法讲解证明的思路，尽量站在初学者的立场，以比较自然清晰的思路去讲解定理的证明。这样逐步教会学生探索怎样想出定理的证明，培养学生独立思考发现问题、解决问题的能力。另外，还要注意对常用的、有价值的证题技巧的培养，否则有了正确的思路，仍无法证题。在讲解定理时，对常用的、有价值的技巧，讲清它的特点，介绍它的作用和常用在什么地方，要求学生掌握熟记。概念与定理教学是实变函数教学中的重中之重，那是因为如果学生对实变函数中的很多概念不明确、定理结论不熟记，不掌握证题的技巧，学生就会失去学习这门课程的积极性与信心，所以，必须首先上好概念定理的内容。

二、采用直观化的教学方法

实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，大多数学生觉得实变函数难懂、抽象，难学。要按时且高质量的完成该课程的教学，就需要教师从教学方法上下功夫，增加趣味性，减少枯燥性，提高学生的学习热情。适当采用直观化的教学手段和通俗形象的教学语言。由于实变函数理論的高度抽象性，学生在学习时总是感到实变函数不可捉摸，难以深入理解其思想本质。教师在讲解时要尽可能将主要概念的产生背景，以及概念之间的内在联系加以介绍[2] ；在授课过程中，要通过列举一些与生活相关的实例来阐明一些抽象、含混晦涩的定理和定义；在教学过程中，适当地采用直观化的教学手段和通俗形象的教学语言，可以帮助学生克服觉得实变函数难懂、抽象、枯燥的心理，从而学好实变函数。直观化的教学手段是多样性的。它可以是为学生所熟悉的数学分析中的直观例子；可以是富有趣味、直观形象且具有启发性的例子；可以是直观化的图示等。

三、教师精讲与学生自学相结合

精讲不是简单的删除内容，而是精选出在整个课程中承上启下、多处应用到的概念或者定理，精讲典型例子以及常用方法。我们的教材都是国内名校名师编写的，针对的是精英教育模式。地方本科院校的学生数学基础相对来说是比较差一点，必须因材施教。就是要采取是“少而精”的办法，把有限教学时间的合理分配，也就是重点要突出，该详的就应该详，该略的必须略。比如，可测函数列的收敛性就要精讲，但是可测函数的构造中的鲁津定理可以略讲，让学生自学。随着高校学生的学习独立性不断增强，实变函数一般都是在大三开课，此时学生已经具备一定的自学能力。因此，我们教师对“教”的地位需要重新认识，“教”的概念应由填鸭式的传授知识转化为对学生学习的启发和指导。如连续、收敛概念的教学，可以指导同学们对比数学分析的连续自己自学。在实变函数中由教“书”向教“学”转化，可以培养学生创造性学习及独立钻研的能力，也是培养学生讲课及语言表达的能力。精讲给自学留下了足够的空间，自学又反过来给精讲创造了条件和铺平了道路[5].对自学的内容，授课教师要先编写自学提纲，提出问题，让学生带着问题去学习，让学生通过对教材和教学参考书的阅读、分析和思考。

四、传统教学与多媒体教学相结合，丰富教学手段

实变函数课程中有很多概念以及定理是很抽象，甚至很难理解。 那么，就要善于将现代教学手段应用到本课程的教学中去，发挥多媒体教学的优点，把抽象的概念定理直观化和形象化，通过使用特例的图形来帮助理解抽象的内容。比如，一般集合中的许多结论，先用区域或某些特殊图形来理解它，就可猜测出其结果，然后再去证明。精心制作电子教案与多媒体课件，将本课程中相关的数学家，如黎曼、康托尔以及勒贝格等数学家研究数学的事迹通过多媒体展现出来，以增加趣味性，同时培养学生的数学素养。多媒体教学也有其自身的不足之处，那么，教师在授课过程中最好采用多媒体与传统板书相结合的方式，这样可以大大提高了教学效果。开展多媒体教学大大加强了实变函数中的符号计算与图形演示，对激发学生学习实变函数的兴趣，加深学生对理论数学的理解，培养动手能力等具有重要的作用。

五、分章小结、精心设计习题课，化解学生学习难点

很多同学说实变函数很难掌握，我们认为，一个重要原因是面对习题总是感觉到无从下手。实变函数的习题几乎没有计算题，全部是证明题，而且理论性很强。要完成习题作业，就需要学生在熟悉掌握所学概念与定理的基础上，展开抽象思维，认真分析，合理推证，这对学生的数学素养要求很高。如果学生对课后习题不能顺利做出，长此以往，就会使学生产生实变函数难学的心理负担，不利于学生对实变函数知识与概念的巩固复习。因此，在教学的过程中要定期分章及梳理小结，精选经典习题，并重点精解。这样，对于学生掌握实变函数习题中的典型方法、分解难点，增强学习信心与积极性十分有益。选题原则是强调基本概念、性质、定理，突出基本方法，题目不宜太多太难，应努力使学生发现解题技巧，选题对于一类习题要有启发性。讲解时要做好师生互动，有些只要讲解思路，予以提示即可；对于繁难题目可以认真讲解[4]，采取一题多解、举一反三的教学方法，强化习题练习，训练学生的解题方法，培养学生的逻辑思维，引导学生攻克学习难关和培养灵活运用的能力。习题课是使学生掌握好课堂讲授内容的重要补充，是培养学生动手能力和提高学习效果的极好形式，同时也是师生互动、加强交流的大好机会。

总之，在教学的实践过程中，任课教师要深入研究教材，积极开展教学方法的研究，把“教学相长”思想贯穿在教学过程中，加大学生由“学”到“教”的力度，形成活跃轻松的课堂气氛，既注重帮助学生迅速而牢固地掌握基本知识，又注意启发思维，引导学生的学习兴趣、热情，培养学生创造性学习及独立钻研的能力。要加强师资队伍建设，使任课教师进一步提高自身能力，授课教师要经常探讨相互的教学经验，相互借鉴，共同分析。

参考文献：

[1] 薛昌兴.实变函数教学改革研究[J].甘肃教育学院学报：自然科学版，2001，（1）：47-49.

[2] 马引弟.《实变函数论》课程教学改革的探索与实践[J].科技信息，2007，（5）：33-33.

[3] 铁勇.大学生学习实变函数课程的困因和教学改革的探讨[J].曲靖师范学院学报，2011，（30）：71-73.

[4] 徐西安.改进实变函数教学的一些方法[J].山东教育学院学报，2006，（4）：103-105.

[5] 吴立宝，何童丽.普通高师《实变函数》课程教学方法改革初探[J].保山师专学报，2007，（3）：33-36.

[6] 易艳春.实变函数课程教学方法探索[J].中国科教创新导刊，2008，（12）：51-52.

[7] 李浏兰，唐祥德.提高师范院校实变函数教学效率的方法探讨[J].中国科教创新导刊，2009，（8）：163-163.

[8] 宋文，胡艳红.在实变函数教学中渗透数学思想史的体会[J].继续教育研究，2012，（5）：158-160.

[责任编辑 高惠琦]