改变习惯盲区 凸显数学本质

强震球

《倍数和因数》（苏教版小学数学四年级下册）一课，教材的编写在以下两方面作了尝试：一是重建知识体系，学生通过拼长方形的活动并依据乘法算式认识倍数和因数，概念揭示变“逻辑演绎”为“活动建构”。二是找一个数的倍数、因数的方法，与建立倍数、因数概念的大背景保持一致，启发学生借助乘法算式进行。在尊重、理解教材编写意图的基础上，我设计并执教了这一课。

一、“意义建构”与“本质定义”

任务：请看大屏幕，这里有12个同样的小正方形，你能将它们拼成一个长方形吗？在头脑里拼一拼，并用一个乘法算式表示出你的拼法。

交流：学生说拼法和相应的乘法算式（屏幕上相机展示拼法和乘法算式，最后留下三个乘法算式）：4×3=12，6×2=12，12×1=12。

定义倍数、因数：用12个同样的小正方形可以拼出三种不同的长方形，由此可以写出三个不同的乘法算式。看算式4×3=12，我们知道4、3是乘数，12是积。乘数和积之间还存在另外一种特殊的关系：12是4的倍数，12正好是4的3倍；4是12的因数。师边说边在算式上用箭头直观表示（如下图）：

板书：12是4的倍数

4是12的因数

揭示课题：倍数和因数。

举一反三：谁来说说3与12的关系，可不要说反了。根据6×2=12，12×1=12这两个乘法算式，谁来说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？

沟通小结：从上面我们可以看出，在乘法算式中，积与乘数的关系就是倍数与因数的关系，积是乘数的倍数，乘数是积的因数。

提纯巩固关系：给你们两个数，你们能说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？（逐一出示）8和2 3和15 3和7 4和0

“倍数和因数”传统上，教材是按数学知识的逻辑系统安排的，在除法和整除的基础上由整除直接演绎推理，概念揭示学生从抽象到抽象，没有亲身经历的过程，概念的获得刻板、冰冷。苏教版现行教材从学生熟悉的“用同样的小正方形拼长方形”活动入手，提取活动中的研究对象“三个乘法算式”，激活并唤起学生的“因倍意识”，进而让学生生动、有意义地建构“倍数、因数”的意义。这种基于学生原有知识经验之上，从具体到抽象感知和理解概念，是学生自主操作、积极思考的结果，是一种意义建构。

1.改动手操作“拼长方形”为“想象拼长方形”

动手操作不是单纯的行为活动，更重要的是让学生在活动中要有思维。“拼长方形”活动是学生熟悉的、感兴趣的，几乎人人都知道有不同的拼法，也都能顺利拼出三种不同的长方形，学生再操作不能引起新的思维，也不能生成新的知识。因此，教学中充分利用学生已有的知识经验，让学生借助表象进行操作和想象活动，“短、平、快”直奔研究对象“三个乘法算式”。

2.建立模型，凸显倍数、因数相互依存的本质关系

倍数与因数是一种关系，客观存在于具体的两个自然数之间。因此，要通过完整的语言表达关系，让学生体会这种关系。以4×3=12为例，教学改变原来定义的叙述：12是3和4的倍数，3和4都是12的因数，紧扣倍数和因数两数关系的本质——相互依存，直接组块定义倍数、因数，打破“因倍关系”的乘法意识，避免学生把“因倍关系”理解为是三个数的关系。概念揭示的同时用直观图表示，建立模型。练习时改“乘法算式说关系”为“一组两数说关系”，既达到巩固新知的目的，更让学生从本质上理解倍数和因数的含义，为下面探索找一个数的倍数、因数的方法铺垫。同时，巧妙处理“0的特殊性”问题，统一因倍关系的研究范围，自然流畅。

二、“为错误而教”与“对话生成”

找一个数的倍数：

（1）学生说一个6的倍数，还能说一个吗？

（2）学生按要求写出6的倍数：从小到大全部写出来。

（3）省略号表示：教师巡视，能全部写出来吗？怎么表示？

（4）确定第一个，有序找：写出来了吗？查一查，6的倍数第一个到底是谁？再查查，第二、第三个又分别是谁？

（5）讨论交流，揭示方法：6的倍数第一个是谁？第三个呢？怎么找的？按顺序从小到大找6的倍数怎么想？

（6）巩固练习：找2、5的倍数。

找一个数的因数：

（1）6的倍数会找了，那谁来说说6的因数有哪些？（板书：6的因数有：1、2、3、6。）你们怎么想的？（想除法算式6÷（ ）=（ ），没有余数。）

（2）找36的因数：会找吗？不要吹牛噢！找36的因数，老师也有要求：看谁找得全，没有遗漏；找得快，方法巧妙。开始。

（3）反馈交流，揭示找法、写法：请找得最快的同学谈谈想法。（用除法，一对一对找。一对空开写。）

（4）小结试练：找一个数的因数，用除法，从1开始一对一对找，这种方法怎么样？用这样的方法口答：说出2、5的因数。写出15、9的因数，看谁找得又快又全。

找一个数的倍数、因数对学生来说并不难，问题出在写一个数的第一个倍数总把最小的本身遗漏，学生认为一个数的倍数总比自身大。难就难在写出一个数的所有因数。

1.接纳错误，对话生成

从心理学、教育学角度分析：学生受生理、心理及认知水平的限制，出错是不可避免的。而且学生获得数学知识本来就应该是在不断地探索中进行的，作为教师，当学生有了错误，要给足学生思考的时间和空间，引导学生发现错误、纠正错误，站在学生的角度，“顺应”他们的认知，对症下药，找到解决问题的办法。教学中为学生营造了一个“对话场”，放手让学生尝试寻找“6的倍数、6的因数、36的因数”，在生生、师生多角度、多层面的对话中发现、完善找一个数的倍数、因数的方法，彼此分享经验、沟通交流，生成新方法。在错误的校正过程中，提升学生的思维，情感、态度、价值观得到升华。

2.因数寻找，塑造兴奋点

找一个数的因数是本课的难点，如何突破？根据学生的认知水平，小坡度设置，逐步提高教学要求，培养解决问题的兴趣，提升解决问题的成功感，让学生的思维永远处于兴奋状态。先找“6的因数”，个数少，学生很容易全部找到，获得成功体验。同时与找“6的倍数”形成对比，让学生初步认识找一个数的因数与倍数方法不同，意义也不一样。接着让学生找“36的因数”，熟悉的场景让学生跃跃欲试，激起他们思维的兴奋点，并适时提高要求：又全又快。师生交流，相互评价，学生主动建构起“找一个数的因数的方法”，总结方法，提升水平，培养学生思维的有序性和深刻性。

三、“丰富特征”与“启迪智慧”

我们都会找一个数的倍数、因数了，大家再来找找其他数的倍数、因数。

对比找：①8的倍数有 ，8的因数有 。

②7的倍数有 ，7的因数有 。

③12的倍数有 ，12的因数有 。

填空：①8的因数的个数一定比8的倍数的个数 。

②8的因数不一定比8的倍数

。

填表：

要全面形成倍数、因数的概念，学生除了会找一个数的倍数、因数外，还得认识倍数、因数的本质属性。因此教材分段在“试一试”后面安排引导学生自己分析、研究一个数的倍数、因数的个数、最大、最小的特征。教学通常按部就班，学生试找其他自然数的倍数、因数，然后组织观察、比较，交流发现一个数的倍数、因数的特征，这样的教学显得很突兀，学生“被接收”。“知识关乎事物，智慧关乎人生；知识是理念的外化，智慧是人生的反观。”从知识课堂走向智慧课堂，为学生的智慧成长而教，应成为数学教学的倾心追求。对倍数、因数内涵的挖掘，不仅要关注学生对“一个数的倍数、因数的特征”的掌握，更是让学生发现概括特征的需要，总结要有力，从中体会数学学习的方法，自然地释放学生的潜能，开启心智。因此，教学有意设置对比统一的情境：找同一个数的倍数、因数。一方面让学生继续巩固找一个数的倍数、因数的方法，另一方面让学生在写的过程中清晰地感知到自然数的倍数、因数个数不同。三组类比练习后让学生“填空”，学生自然聚焦倍数、因数的个数与大小，直观感性。理性概括“填表”，特征明晰，学生总结水到渠成。教学从直观到抽象，学生做中感悟，既获得了知识，更是经历过程体验到数学学习的方法。

回顾全课教学，我围绕“操作与思维”“概念的本质解读”“数学结果与过程”“总结与数学学习方法”等问题不断地刷新思考与实践，把“倍数和因数”的教学设计成教师指导下凸显数学本质，激发学生学习兴奋点，启迪学生智慧，自主发现、总结问题的过程，让学生掌握基本数学知识与技能、数学思想与方法，获得数学活动经验。