“优化问题”与“优化思想”

所谓“优化问题”，是浙江省嘉兴市吴雪军老师在一篇题为“例谈小学高段数学优化问题教学”（《教学月刊》，2013年第4期）的文章中（以下简称为“吴文”）对这样一类问题的概称：“数学优化问题，是指在解决问题时面对多种可行的策略、方案或答案，教师要引导学生从中寻找一种最佳的策略、方案或答案。”就小学高段而言，文章还以小学高段的三个“优化问题”（“烙饼问题”“打电话问题”与“找次品问题”）为案例对这方面教学所存在的问题进行了具体分析，并给出了若干关于如何“引导学生对优化策略的深层探究”的具体建议。

这些分析与建议无疑有益于一线教师改进这方面的教学。除此以外，笔者以为，这一工作也可被看作教学研究的一个范例，即是我们应当努力跳出各个具体内容的教学设计这样一个常见框架的束缚，并从更为一般的角度去进行分析思考，从而真正做到“小中见大”，也即更好地发挥教学研究对于促进教学的普遍意义。

以下就从同一角度对“优化问题”的教学作出进一步的分析，包括我们应当如何去理解与把握“优化问题”与“优化思想”之间的联系与区别。

一

“优化问题”的教学，应当说主要涉及了这样三个问题：第一，什么（如何）？也即什么是所谓的“最佳方案”？第二，为什么？也即这为什么可以说是“最佳方案”？第三，我们又如何能对此作进一步的发展？包括对于相应的普遍性规律的探究，以及如何能够达到更深层次的理解，等等。

显然，从上述的角度去分析，我们也就可更好地去理解这为什么应当被看成这方面教学的一个严重不足：“很多时候，教师和学生往往都只关心‘可以怎样优化，而不去思考‘为什么可以这样优化‘优化的根本原因是什么。”因为，这一做法显然是与我们所一贯提倡的“理解学习”直接相违背的。

但是，我们又如何才能帮助学生很好地理解所说的“为什么”呢？以下就是吴文中所提到的一个具体建议：“要让学生充分参与探究体验的过程，在参与过程中自主领悟‘策略不够优化的原因。”这一建议当然有一定道理。但从“优化”的角度去分析，笔者以为，我们在教学中又应更加突出“（方案的）多元化”与“比较”这样两个要素，因为，这正是“优化”的必要前提。另外，就这方面的具体工作而言，除去学生对于探究过程的“直接参与”以外，教师在教学中还应十分重视学生对于相关结论的清楚表述与独立思考。例如，正是从后一角度去分析，笔者以为，尽管以下的经验（深圳市育才四小）并非完全针对“优化问题”而言，但这对于我们改进后一方面的工作也是同样适用的：“‘数学知识表述……是个关键环节，决定了课堂交流的深度”；我们在教学中更应向学生提出这样的要求：“假设每一个知识都让你自己去讲演，你怎么讲？特别是，如何能让全班同学在最短时间内理解自己的想法……”又，“如果能够给他人提出补充，提出一针见血的思路，也是成功的。”（《人民教育》，2012年第9期）

就这方面的具体工作而言，笔者想特别强调这一点：这事实上也可被看成数学中“优化思想”的一个重要表现，即相对于一丝不苟的严格证明而言，数学家往往更加倾向于对“证明思想”的理解，特别是，如何用简单明了的语言一针见血地揭示出其中的关键。例如，就所说的三个问题而言，这或许就可被看成所说的关键：（1）“烙饼问题”：“操作中不应出现让锅子空着的情况”；（2）“打电话问题”：“不应让已接到电话的人空着，而应让他们全都参与通知的活动，从而就可在同样的时间内通知到尽可能多的人”；（3）“找次品问题”：“天平的每一次使用都应发挥最大的效果，也即尽可能地缩小次品的可能范围”。

最后，就“优化问题”的教学而言，笔者以为，我们在教学中仅仅强调对于各个具体的“优化策略”的深入理解还是不够的，因为，“如何能对所有获得的结果作进一步的发展”其本身也正是数学中“优化思想”的又一重要内涵。而且，在很多情况下，这也正是实现“深层理解”的一个重要手段或具体途径，后者既包括对于已解决的问题的进一步推广，如由“锅子每次可以烙两个饼”推广到“锅子每次可以烙三个饼”“锅子每次可以烙四个饼”，等等，也包括如何能够总结出相应的普遍规律，即如“第n分钟所有接到通知的总人数”的计算公式等等。更为一般地说，这就直接涉及了这样一个问题，即是我们究竟应当如何去看待与处理“优化问题”与“优化思想”教学这两者之间的关系。

在直接转入后一论题之前，笔者特别提及这样两点：

第一，吴文中明确提到了这样一个问题：“试问：‘打电话问题的教学重点和目的是为了找到这样的规律（即第n分钟所有接到通知的总人数=2 n）吗？”的确，我们在此即应特别重视究竟什么是这一内容的教学目的。但在笔者看来，这事实上也就直接涉及了这样一个问题，即我们应当始终集中于“优化问题”的具体求解，还是应当通过这一实例帮助学生学习数学的“优化思想”。

第二，由于由特殊向一般的过渡往往意味着引入了更多的条件或因素，因此，我们在此也就必须针对具体情况作出新的分析，特别是，即是应当深入地去思考所说的过渡是否涉及了另外一些重要的数学思想或关键。例如，就“找次品问题”而言，尽管就原先的较为简单的情况而言（如共有5件或9件产品），所谓的“三分”（“不称”有时也是一种“称”）与“适当的归类”（“有时产品多一个少一个并不会影响到最终的答案”）确可被看成成功解决问题的关键，但是，随着产品总数的不断增加，“递归的思想”（如何能够充分利用已获得的成果由简到繁地去开展研究）与“序的思想”（对于解题过程的整体把握，特别是思维的条理性）显然具有了越来越大的重要性，从而我们在教学中也就必须作出适当的变化。（对于“找次品问题”并可见另文“‘找次品问题与数学思维”，《小学教学》，2011年第7期；或郑毓信，《数学教师的三项基本功》，江苏教育出版社，2011）

二

这事实上也是吴文中所明确提到的一个观点：“‘优化是一种思想、一种意识”；又，“优化问题”的教学不应“忽视学生优化意识的培养和优化能力的发展”。

但是，究竟什么是这里所说的“优化思想”或“优化意识”呢？笔者以为，这主要是指数学家所普遍具有的这样一种思维倾向和价值取向：数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者不仅导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构，等等；数学家们也总是希望能达到更完美的简单性和精致性，如是否存在更为简单的证明？能否对相应的表述方式（包括符号等）作出改进？等等。

例如，主要地也正是基于这样一种认识，人们对20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”这一数学教育改革运动中所出现的以下现象提出了尖锐批评，即认为与单纯满足于具体解答的获得相比较，我们应当更为明确地提出这样一个主张：“求取解答，并继续前进”。（对此并可见另文“关于问题解决的再思考”，载郑毓信，《数学教育的现代发展》，江苏教育出版社，1999）

进而，从同一角度去分析，我们显然也可大致地看出在所谓的“优化问题”与“优化思想”之间所存在的重要区别：如果说后者主要体现了一种思维倾向或思维方式，那么，“优化问题”则在很大程度上具有不同的性质，因为，如果缺乏足够自觉性的话，人们在此往往会将注意力完全集中于如何去发现所说的最佳方案（也正因此，数学中往往将此类问题称为“极值问题”而非“优化问题”），而忽视了人们在现实中何以会经常提出“寻找最佳方案”这样一个想法，乃至清楚地意识到后者更应被看成“学会数学地思维”十分重要的一项内涵。

当然，又如先前的分析所已指明的，只要处理得当，“优化问题”仍然可以成为学生学习“优化思想”的重要载体和良好契机；但是，我们在此又应注意防止这样一种简单化的理解，即是将“优化问题”看成“优化思想”教学的唯一途径。恰恰相反，“优化思想”应当说渗透于数学的方方面面，数学的发展主要地也可被看成一个不断优化的过程，从而，“优化思想”的教学也就应当渗透于全部的数学学习活动之中。

事实上，在笔者看来，不断的优化同样可以被看成数学学习活动的本质所在。例如，正如人们普遍认识到了的，即使就自然数的加法而言，我们也可区分出三个不同的水平，而这又正是这方面教学工作的一个主要目标，即是应当帮助学生很好地实现相应的发展或“优化”：第一，从头数起；第二，“简化的计数程序”：从第一个加数“继续往后数”；第三，已知事实的应用。另外，乘法的引入以及代数方法对于算术方法的取代显然也可被看成这方面的更多实例。例如，这也就如吴文俊先生所指出的：“四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远、走不远，更不能腾飞……可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞。”

我们应全面地去理解数学中“优化”的各个含义：这不仅是指“显性层面”的发展，如方法的改进，结论的推广，更好的表述方法的引入等；也包括“隐性层面”的变化，如观念的更新，新的思维品格的养成等。显然，从这一分析来看，我们也就可以更清楚地看出将“优化思想”的教学局限于“优化问题”的不足之处。

另外，从同一角度去分析，我们也可更好地理解这样一个建议的重要性，即教学中我们应当始终明确地倡导“多样化”与“比较”这样两个要素。更为一般地说，我们应当将“善于比较与优化”看成数学教师的一个基本能力（或者说“基本功”，对此并可见另著《数学教师的三项基本功》）。当然，从教学的角度看，这又正是这方面工作的关键与难点，即我们如何能够使得所说的“优化”真正成为学生的自觉行为。

由此可见，在“优化问题”的教学中我们也就应当注意这一点，不应使“寻找最佳方案”成为学生必须服从的一个外部要求，而应让学生通过“直接参与”真正体会到“寻找最佳方案”的必要性。

最后，又如人们普遍认识到了的，就“找次品问题”的教学而言，这也是十分重要的一环，即是如何能够帮助学生很好地去理解题意，特别是“最少”此类词语的意义。在此要强调的是，这事实上也可被看成从又一角度指明了“优化”的丰富含义：数学中的“优化”也是指“语言”的优化。更为具体地说，后者又不仅是指由“非数学语言”向“数学语言”的必要过渡，而且也包括词语的扩展、功能的强化，乃至语言基本性质的变化，也即语言的“非个性化”、“客观化”与“标准化”（欧内斯特语）。

愿我们大家都能在帮助学生学习“优化思想”这一方面作出更大的努力！

（南京大学哲学系 210093）