构造三角形中位线解题例析

高贤莲

三角形的中位线是三角形中的重要线段，通过添加三角形的中位线来解决几何证明题是行之有效的方法.在解答某些与中点有关的几何说理题时，若能根据题意巧妙地作出中位线，就会有出奇制胜的效果.

下面是本人在教学中总结出的几道题予以说明，以供参考.

【例1】 如图1所示，在△ABC中，∠B=2∠C， AD是三角形的高，点M是边BC的中点，求证：DM=12AB.

解析：取AC的中点E， 连接ME，

由三角形中位线定理可知ME∥AB，

ME=12AB，所以∠EMC=∠B，

又因为∠B=2∠C，所以∠EMC=2∠C，

已知AD⊥BC， 所以DE=12AC=EC， ∠EDM=∠C=∠DEM， 所以DM=ME， 易得DM=12AB.

【例2】 如图2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD+BC=AB， M是CD的中点，求证：AM⊥BM.

分析：证法一：取AB的中点N，

连接MN，由梯形的中位线定理易得NM=12（AD+BC），

又已知AD+BC=AB，所以MN=12AB=AN=BN，

可得AM⊥BM.

證法二：延长AM交BC的延长线于P点，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠DCP，∠DAP=∠P，

又∵M为CD中点，

∴DM=CM，

∴△ADM≌△PCM（AAS），

∴AM=PM，AD=PC，

又∵AB=AD+BC，

∴AB=PC+BC=PB，

所以AM⊥BM（利用三角形的“三线合一”）.

图4

【例3】 四边形ABCD的对角线相交于点O，且AC=BD，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点E，F，试说明OE=OF.

证法一：取BC的中点P，连接PM、PN，

∵M是AB的中点，

∴PM是△ABC的中位线，

∴PM∥AC且PM=12AC，

∴∠PMN=∠OFE.

同理可证，PN∥BD， PN=12BD，

∴∠PNM=∠OEF，

又∵AC=BD，

∴PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠OFE=∠OEF，

可证OE=OF.

证明二：取AD的中点P，连接PM， PN，

∵M是AD的中点，

∴PM是△ABD的中位线，

∴PM∥BD且PM=12BD，

∴∠PMN=∠OEF，

同理可证，PN∥AC， PN=12AC，

∴∠PNM=∠OFE，

又∵AC=BD，

∴PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠OFE=∠OEF，

可证OE=OF.

总之，三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理.它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理 ，但是在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们根据题目的特点自己去寻找.关于三角形中位线定理的应用，这部分知识在初二几何中占有很重要的地位，它对《梯形中位线》、《平行等分线段定理》、《相似形》等的学习起到辅助的作用.学好中位线定理很重要，特别是如何正确添加辅助线构造三角形的中位线对每一个学生来说是一个重点也是一个难点.要求学生要善于觉察图形的有关定理的基本图形.涉及中点问题联想到有关定理，就很容易解决问题，从而达到学习的目的.

（责任编辑 黄春香）