“1”的妙用

姚京

数学教学有两个维度：数学知识和数学思想方法。数学知识是基础，数学方法是本质。数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

然而心理学研究表明，小学生思维正以具体形象思维为主，并逐步向逻辑思维为主要形式过渡；由具体运算为主，逐步向形式运算为主过渡的时期。因此对数学思想方法的渗透必须符合学生的年龄特征，同时必须借助于合适的“拐杖”，本文旨在简述通过“1”的妙用，浅析在小学数学数与代数领域中如何渗透基本的数学思想方法。

一、建模

模型思想是指用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度上讲，数学的概念、定理、规律、法则等都是数学模型。模型思想的形成，就是数学思维抽象的过程。

例如，在教学《倒数》一课时，我作了如下设计：

层次一：分数的倒数学生自主归纳。

层次二：整数的倒数。

师：5的倒数是多少？你是怎么想的？

生：5的倒数是 。因为5可以写成 ，分子分母交换位置就是 。

师：6的倒数呢？7的倒数呢？（学生争先恐后抢答）

师：a的倒数呢？（学生异口同声说 ）

层次三：小数的倒数。

师：0.5的倒数呢？（生依据刚才的经验不假思索答到 ，但很快沉寂了，怀疑自己的答案。）

师：刚才同学们的思考， 是正确的，但是同学们又否定了这样的结果，其实只要我们稍加变换，就可以把 化成 ，也就是2。

同学们若有所思，恍然大悟。

【评析】在探寻一个数倒数的方法的过程中，教师借助于“1”使学生理解求整数的倒数的方法，并在此基础上帮助学生利用字母抽象出数学本质。随着数字的变换，出现0.5，对于学生来说是惯性思维的运用，但很快又被自我否定，因为 这样的形式有违分数在学生心理的定式。在这样的基础上教师引导学生把 改写为学生的已有分数形式，使学生丰富对分数的认识，同时对学生思维的发展也是一种突破。

再如，99×38+38，x-0.4x=12等都可以利用“1”帮助学生把具体问题划归到特定的数学模型中加以解决。

二、转化

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

小学阶段最常用的是等价转化，是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

例如，在教学比的基本性质练习一课时，设计如下练习。

甲数是乙数的1.5倍，甲数与乙数的比是（ ），化成最简整数比是（ ）。

【设计意图】对于学生来说，已知两数之比求比值是顺向思维，而已知比值求两数之比是逆向思维，学生感觉无从下手。通过这样的逆向思维训练，培养学生思维的灵活性。

【教学过程】

层次一、引导学生用线段图表示两者之间的数量关系。

师：你能根据题意画出线段图吗？

层次二、引导学生根据线段图，用数字表示两者之间的数量。

师：根据我们画出的线段图，你能用数字表示两者的关系吗？

启发学生用数字1（即单位“1”）表示乙数，1.5表示甲数，从而写出两数之比。

【评析】教师在引导的过程中，充分渗透了转化的数学思想，由数变换为图形关系，便于学生直观思考，并启发学生根据图形利用“1”建立两者数量间的关系。数形结合，符合学生的认知发展规律。

转化思想灵活多样没有一个统一的模式。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。小学阶段渗透转化的数学思想必须符合学生的认知发展规律，变抽象为直观、变形式为具体。过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

三、归纳演绎

“归纳与演绎”是基本数学思想方法。小学阶段数学学习常常是通过简单、个别、具体、特殊例子的研究，总结、归纳出一般结论，然后演绎应用于实际问题的解决，或者通过演绎推理获取更上位的知识。

例如，在教学分数乘法，因数的大小与积的大小关系时，可以巧借助于“1”帮助学生归纳与演绎。

设计如下题组：

层次一：出示题组（1）。

师：你有什么发现？

引导学生发现，一个因数相同，另一个因数大乘积就大。这样的规律对于六年级学生来说是很容易发现的。

层次二：在此基础上出示题组（2）。

师：你能利用刚才发现的规律不计算就能判断大小吗？

启发学生巧妙添上“1”使题组变换为：

利用“1”建立特定的模型，在此基础上运用不完全归纳法总结规律，在习得基本知识的同时，培养学生基本的数学思维能力。

综上所述，作为一名数学教师，要有高瞻远瞩的视野，设计便于学生的表现形式帮助学生寻找合适的“拐杖”，让学生在习得基本知识的同时，渗透基本的数学思想方法，积累经验进而使数学思维方法植根于学生的心中！

（作者单位 江苏省金坛市明珍实验学校）