不定方程计算法在化学中的应用

张军

摘要：根据求解策略的不同，把不定方程在化学计算中的应用归纳为代入、比值、消元、讨论4种类型，并选了6个较为典型的例题进行了解析，说明不定方程计算方法的应用可使一些化学计算问题得到简化。

关键词：不定方程计算法；化学计算；中学化学教学

文章编号：1005–6629（2013）8–0062–03 中图分类号：G633.8 文献标识码：B

方程的个数少于其中所含未知数的个数，通常称之为“不定方程”。如不限定条件，这类方程的解一般是不确定的。进行化学计算时，如活用不定方程计算方法却常常使一些化学计算问题得到简化。已有文献[1～4]中以不定方程应用于有机化学计算的讨论居多，而具体解法以讨论法为主。笔者以更开放的视角，根据求解策略的不同，将中学化学不定方程应用中常见的有关问题大致分为四种类型，分述如下。

1 代入型

这种类型多见于选择题，一般可根据相关化学规律建立一个二元一次方程，再将选项提供的可能结果逐一代入该方程进行验证，如果能使方程成立，则问题得解。

例1 高岭土的组成可表示为Al2Si2Ox（OH）y，其中x、y的数值分别是（ ）。

A. 7、2 B. 6、3 C. 5、4 D. 3、6

解析：高岭土中Al、Si、H、O等元素的化合价分别为：+3、+4、+1、-2，由化合价规则，即化合物中所有元素化合价代数和等于0，也即正化合价之和等于负化合价绝对值之和，可得

3×2+4×2+1×y=2×（x+y）

即2x+y=14

将各选项提供的可能结果分别代入上式进行验证，显然当x=5，y=4时方程成立，故选C。

本例若不建立不定方程，直接代入验证，也会得解，但远不如将选项中的数值代入以上不定方程更为方便、高效。

2 比值型

这种类型由题意建立的方程一般含两个未知数，且其常数项一般为0，有一定的特殊性。因此，运算时并不奢求其中所有未知数的具体值，而仅需确定其比值关系。

例2 在FeCl3 和CuCl2 的混合液中加入过量铁粉，充分反应后，溶液中溶质的总质量不变，则原溶液中FeCl3 和CuCl2 的物质的量之比为多少？

解析：设原溶液中FeCl3和CuCl2的物质的量分别为2x和y，由于铁粉过量，因此原溶液中FeCl3和CuCl2均全部参与反应，即

Fe + 2Fe3+=3Fe2+ Fe + Cu2+=Fe2+ + Cu

1mol 2mol 1mol 1mol 1mol

x 2x y y y

再依据溶液中溶质的总质量不变，建立不定方程，此条件可显化为反应中溶解的铁的质量和析出的铜的质量相等，即

56 g·mol-1×（x+y） = 64 g·mol-1×y

也即56x=8y

因此 = =

故原溶液中FeCl3 和CuCl2 的物质的量之比为

= =

本例解析中把两个未知数看成一个整体（即 ），十分巧妙地将不定方程转化为一元一次方程，从而轻松得解。另外，把FeCl3 的物质的量设为2x，使得建立的方程更为简洁和方便运算，也是一个需要注意的亮点。相反，如果不能充分认识以上不定方程的特殊性，非要拘泥于一般的穷举讨论法分别求得x、y，几乎是不可能的。

3 消元型

消元型所建立的方程也有其特殊性，比较常见的是其中多个未知数之间存在确定的比例（或倍数）关系，因此，方程加减运算的结果可同时消去多个未知数，从而确定剩余唯一未知数的具体值。

本例解析中充分利用两个方程整体上的倍数关系，通过加减消元法将三元一次方程直接转化为一元一次方程而得解。当然，两个方程整体上的倍数关系直接依赖于把H2的体积设为2x，如果按照一般的处理将其设为x，所建立的两个方程整体上的倍数关系不复存在。尽管方程可解，具体运算却要麻烦些了。

4 讨论型

此类型比较普遍，多见于有机化合物分子式的确定。隐含条件通常为未知数取值范围为正整数。当然对具体问题，还可结合有关化学规律，将取值范围进一步缩小，从而讨论求解。

例4 现有一种有机物，它完全燃烧时消耗氧气与生成的二氧化碳的体积比为3：4，它具有两个羧基，其余的碳原子结合的原子或原子团都相同。取0.2625 g该化合物恰好能与25.00 mL 0.1000 mol·L-1的NaOH溶液完全中和。试确定该化合物的分子式和结构简式。

解析：由于n（NaOH）=0.1000 mol·L-1×25.00 mL×10-3 L·mL-1= 2.500×10-3 mol

根据酸碱中和反应规律得

（教育部考试中心2002年高考化学试测题4）

解析：

B10C2H12的电子总数N（e-）=5×10+6×2+1×12=74，

由题意，得5x+y+z=74，

观察各选项易知，z=2，于是上式可化为5x+y=72。

采用代入验证法，当x=12，y=12时，方程成立，故选D。

例6 合成氨工业生产中所用的α-Fe催化剂的主要成分是FeO、Fe2O3。

（1）某FeO、Fe2O3混合物中，铁、氧的物质的量之比为4：5，其中Fe2+与Fe3+物质的量之比为 。（其余小题略，2006年高考上海卷第30题）

解析：

由上述讨论，我们容易感受到在化学计算中灵活运用不定方程思想的独特魅力！教学是充满思想的活动，让最基本的化学观念和解决相关问题的思想植根于学生心中，是中学化学教学的中心任务和永恒课题。

当下教学，教师尤其需要坚守，不能因为追求十分短视的目标，将本该精彩纷呈的化学课堂异化为严重挫伤学生学习热情的“堂堂练”和“题海战”。为此，教师需要不断学习，让研究成为工作常态和习惯，只有丰富自己的真切体验和感悟，教学中才可能避免“就题论题”，也才有机会点燃学生思想的火花。让学生树立不定方程思想，不可能一蹴而就，需要给学生提供特定的化学情境和较为充分的时间体会、领悟；而精妙灵活的设未知数技巧，更需要在解决具体问题的过程中通过比较分优劣，在后续的应用中积累经验，进而升华成规律。

参考文献：

[1]梁陆元.运用不定方程讨论法解化学计算题[J].化学教学，2012，（7）：68～69.

[2]张克栋，张力文.用不定方程解中学化学习题的方法与技巧[J].化学教学，2010，（5）：70～71.

[3]谭家祥.不定方程有定解[J].化学教学，1996，（11）：31～33.

[4]乐宗果.用不定方程解有机化学选择题几例[J].中学化学教学参考，1992，（Z1）：46.

[5]王祖浩主编.普通高中课程标准实验教科书·化学与生活（选修）[M].南京：江苏教育出版社，2004.