椭圆的简单几何性质

唐毓国

摘 要：本教案的设计遵循启发式的教学原则，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

关键词：椭圆；几何性质；教学案例

一、教学目标

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形；培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力；培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识；通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教材分析及处理与学情分析及对策

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，在教学中适当对教材中原有安排顺序做了一些变动，引导学生从观察课前布置的预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进地进行探究。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次接触，因此教学中教师要注意对学生的引导和及时的点拨。

重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用双曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

德育点：在研究性质的过程中，引导学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。通过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。

创新点：一是教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推导，培养学生的创新思维。二是在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。三是留研究性作业，鼓励学生进一步探索。

空白点：一是研究性质过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证。二是反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。

三、教学设计

借助多媒体辅助手段，创设问题情境，引导学生观察、分析、猜测、论证，组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思式总结。

四、教具的选择和使用目的

多媒体课件及实物展台，通过动画演示化解知识难点，运用实物展台，实现了现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具。

五、教学过程

1.教师创设情境、引导目标与内容，学生探索、研究、合作、体验

（1）对称性

教师：（大屏幕展示所示的图形）请同学们观察这个图形在x轴的上方、下方，y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？

（有对称性，关于x轴、y轴、原点都对称。）

教师：正确。那么一般的椭圆■+■=1是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？

展示对称过程后总结：■+■=1所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。做人应向椭圆学习，做一个有心之人。

（2）顶点

教师：（大屏幕展示方程■+■=1所表示的图形）请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？（与坐标轴有四个交点。）

教师：一般的椭圆■+■=1与坐标轴有几个交点呢？

（同样是四个。）

教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？

及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点A1，A2，B1，B2）。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中a、b的几何意义。

教师：（根据课件中的图）如果过A1、A2、分别作y轴的平行线，过B1、B2分别作x轴的平行线，则这四条直线将构成的是什么图形？

（一个矩形。）

教师：椭圆与矩形的位置关系如何？（椭圆在矩形的内部。）

教师：正确，这说明了什么？

教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的A1，A2，B1，B2的坐标，你能说出x、y的范围吗？（-a≤x≤a，-b≤y≤b）

教师：完全正确。那么你能根据方程■+■=1研究x、y的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。（此处既是空白点，又是创新点，学生能够动脑思考，动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生的学习过程，而不是获得一个简单的结果。）

（3）范围

引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。（由■+■=1利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得x2≤a2且0≤b2，则有-a≤x≤a，-b≤y≤b。）

教师：很好，谁还有不同意见？（利用三角函数，令 ■=cosθ，■=sin，θ∈R。由弦函数有界可得范围。）

教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？

（从■+■=1中解出x2=a2（1-■），利用x2≥0可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。）

教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？

（教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？）

教师：哪位同学研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。（由■+■=1，则y=±■■，可通过求这个函数的定义域、值域得出范围。）

教师：y=±■■是函数吗？（不是）

教师：怎么处理呢？

（把y=■■和y=-■■分别看作是一个函数。）

教师：往下怎么研究呢？

（先求函数y=■■的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得-a≤x≤a，0≤y≤b，同样得y=■■中-a≤x≤a，-b≤y≤0，于是得到范围。）

教师：前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化刚才的推导过程呢？

（只需求y=■■（0≤x≤a）的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。）

教师：通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了。（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性。）

教师：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程■+■=1和■+■=1所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？（一个扁一些，一个圆一些。）

教师：圆扁与什么有关系？（提示学生注意两个方程）（与b有关系。）

教师：是这样吗？（在a不变的情况下与b有关系，b大则圆，b小则扁，因此与a、b有关系。）

教师：在给出椭圆的定义中，大家还记得吗？影响椭圆形状的最关键的要素是什么？

教师：下面我们就一起看一下在a不变的情况下，随b的变化c是如何变化的（动画演示），从而引出离心率。

（4）离心率

教师在动画演示过程中，引导学生发现a不变，b大则c小，椭圆较圆，b小则c大，椭圆较扁，特别当a=b时，c=0椭圆为圆。教师指出：当a不变，b大则c小，此时■也变小，学生通过观察指出此时椭圆较圆，反之较扁，c=0时变成了圆。及时总结并给出离心率的定义、符号和范围及特例。（强调离心率是焦距与长轴长之比，与坐标系选取无关，并引导学生分析出：固定a、b、c中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即e大则扁，e小则圆，特别e=0时为圆。）

因此离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量。（此处是难点，教学中借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响。）

2.巩固与创新应用

（1）请你自己设计一个焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并指出它的几何性质。（此题把主要权交给学生，提高学生的参与意识。）

（2）利用本节所学的知识，说出椭圆■+■=1的简单几何性质。

（3）椭圆x2+ky2=k（k>0）的长轴是短轴的2倍，则k= 。

（4）如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个三角形，求椭圆的离心率。

3.反思与小结

（引导学生从知识、思想方法和研究问题方法三个方面进行总结。）

教师：通过这节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？

学生讨论、反思。

（1）知识总结。教师设计关于性质的表格，学生填表，并总结：记住这些性质的关键是抓住两条线（对称轴），一个框（范围），七个点（一个中心、两个焦点、四个顶点）和用e刻画圆扁。思想方法总结：本节课主要利用了数形结合的思想和类比化归的思想研究性质的，平时学习中要注意数学思想方法的运用。

（2）掌握利用曲线方程研究曲线性质的基本方法，即通过研究曲线的对称性、顶点、范围、离心率等，这样就可以从整体上把握曲线了。

4.研究性作业

在预习教材中的例4的基础上，证明：若F1、F2分别是椭圆 ■+■=1的左、右焦点，则椭圆上任一点P（x0，y0）到焦点的距离（焦半径）|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，同时思考当椭圆的焦点在y轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备。）