浅析矩阵的应用

丁钧

摘 要： 矩阵，作为一个大家熟悉的名词或概念，其产生的时间并不算长，但是它对我们生活的影响却是如此的深刻，以致我们根本就感觉不到它的存在。本文从矩阵的概念出发，就矩阵的现实应用作介绍。

关键词： 矩阵 概念 应用

美国芝加哥大学Z·Usiskin教授认为数字化时代最基本的知识和技能是数据处理。而矩阵则是现代社会中应用最广泛的数据处理的方法之一。矩阵与我们的生活、工作息息相关，它时刻影响着我们，但又不易为我们察觉。

一、矩阵——从身边的例子说起

表1是某公司员工的工资单，为叙述简便，我们将其工资单项目简化成6项。

这是一个六维向量，向量的特征就是“有序”。所谓有序，是指每个位置都有特殊意义，不可随意颠倒。向量的好处是表述简单，运算简便。例如我们可以把上述向量表述成下列数组（或数字阵）A=（1200，350，50，260，1300，3160）。

二、密码编制中的矩阵

利用矩阵可以编制比较复杂的密码，一般来讲，最传统的密码编制方法称为恺撒码，它是古罗马大帝恺撒和他的将领通信的一种密码，对写信和读信的人而言都很方便，但外人却不知道。比如一段明文：I CAME I SAW I CONQUERED（吾临 吾睹 吾胜——恺撒名言），用恺撒码就会变成一段密码：L FDPH L VDZ L FERQTXHUHG。

1.恺撒码的原理。取该字母的序数加上3后对应的新字母就是密码，若加上3后超过26（字母一共是26个），那么除以26后得到的余数对应的字母就是密码。比如正规字母D的序数是4，加上3后序数变为7，7对应的字母是G，所以字母D的恺撒码就是G。

2.矩阵编码。在恺撒码的基础上利用矩阵运算的特点就可以编制更复杂的密码，以防被轻易破译。

三、决策论中的矩阵

决策是为达到预期目的，从所有可供选择的方案中找出最佳方案的一种择优行为，不论在政治、经济、军事、技术领域，还是在日常生活中，决策贯穿于管理工作的各个环节。决策可分为不确定型、确定型和风险型决策。风险型决策主要分为：最大期望收益决策和最小机会损失决策。

如蛋糕店的进货。某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1，每个蛋糕的进货价为2.5元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的以每只0.5元的价格处理掉，问该店每天进货多少只蛋糕为宜（进货量必须是50的倍数）。

我们假设当天店里进货量是200只蛋糕，那么根据需求的规律就有五种可能的销售结果，比如当天实际需求是100只蛋糕，那么利润为100×（4-2.5）-（200-100）×0.5=100元，以此类推，我们可以把五种需求下，每种进货选择的利润值计算得到该店的收益表。最后根据五种需求的概率分布，利用矩阵乘法计算收益期望值进行比较，选出收益期望最大的一种进货选择。

四、对策论中的矩阵——“田忌赛马”中的策略分析

对策论又叫博弈论或竞赛论，英文名叫Game Theory，是研究具有斗争或竞争性质的数学理论和方法。1985年我国学者张盛开教授首先将“田忌赛马”的例子用矩阵加以分析和研究，并给出了基于齐王收益的对策矩阵。

1.田忌赛马。战国时齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，共赛马3次，每次比赛的胜者赢得败者一百金。已知在同一等级马的比赛中，齐王的马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。

田忌与齐王在排列赛马出场顺序，各可取下列6种策略之一：

（上，中，下），（中，上，下），（下，中，上），

（上，下，中），（中，下，上），（下，上，中）。

齐王和田忌各有6种策略，如果比赛双方预先都不知道对方所选的策略，且各人所选的策略的概率都是相等的，都是1/6，那么各人比赛结果的收益都是随机的，即对策矩阵A没有鞍点，也就是说对于齐王和田忌都没有最优纯策略。

在随机对策中，如果双方都是“聪明人”，则不存在“必赢”的策略，都必须冒风险，因此我们必须把握机会，不犯错误，争取尽量高的期望值。

参考文献：

[1]陈立，黄立君.物流运筹学[M].北京：北京理工大学出版社，2008：94-99.

[2]谢金星，薛毅.优化建模与Lindo/Lingo软件[M].北京：清华大学出版社，360-363.

[3]刘银萍.关于大学数学的创造性思维教学模式的探讨[J].大学数学，2003.

[4]龚妙昆.高等数学语言中的时序要素[J].大学数学，2003.

[5]Frank R.Giordano，WillamP.Fox.A First Course in Mathematical Modeling，4th edition[M].Brooks/Cole，Cengage Learning，2009：6.