试探用向量知识解高职高考解析几何题

张素君

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

从对重庆市近年来三校生高考试题的分析研究发现，平面向量这一章的知识内容在中职对口升学高考中的分值比例仍然较高，约占全卷满分的10%（20分）左右。中学生应该掌握并会灵活运用一些基本的向量知识，高中数学新教材（试验修订本）加入平面向量这一独立成章的内容，是非常必要的。同时，借助平面向量的知识解题，即所谓的向量法，为解数学题提供了一种独特的思考方法。下面我们就用向量法，借助向量的有关知识，来探讨一下2007年重庆市三校生高考的解析几何题的新解法。

[2007年重庆市三校生试题（23）]已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，并且图像经过点（1，2）。

①求抛物线的标准方程；

②求经过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线L交抛物线于A、B两点。求AB的长；

③经过点D（0，4）作直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为直径作圆。试问圆能否经过原点？若能，求出此时直线MN的方程；若不能，请说明理由。

此例将平面向量、平面解析几何、一元二次方程等知识融为了一体，解这类题的基本方法是：利用平面向量的坐标表示法，将问题中的平面解析几何关系转化为向量关系，又将向量关系转化为代数关系，再根据解析几何中的基本知识与方法求解。