高中数学最值问题的常用解法

田淑华

最值问题是在生产和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选择解题途径和方法。对学生考查的角度来看，求最值问题是一个综合能力的考查；从内容来看它涉及到：导数应用、不等式的性质、函数的单调性等等；从方法上来说，它涉及到：代数式的变形与变换、数形结合、不等式法、导数法、化归思想等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析能力、解决问题的能力。

下面对求最值问题的常用方法进行总结并举例说明，利用各类型的典型例题，分析求最值问题的解题思路，以揭示其中的特征和规律。

方法一：利用单调性求最值

学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。

例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。

分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。

解：原问题等价于f（x）>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。

令g（x）=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a

下面利用导数讨论g（x）的最小值，求导可得g'（x）=x（1-ex）。

當x∈[-2，0]时，g'（x）≤0，从而g（x）在[-2，0]上单调递减；

当x∈（0，2]时，g'（x）<0可知g（x）在（0，2]上也单调递减。

所以g（x）在[-2，2]上单调递减，从而g（x）min=g（2）=2即a∈（-∞，2）

评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值

掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制 。

例2 若x∈R，且0

分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。

解：。

由0

则，当且仅当，即时取等号。

故当时，取得最小值9。

例3 求使不等式│x-4│+│x-3│

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值不等式的性质求解却十分方便。

解：令f（x）=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f（x）min，而f（x）=│x-4│+│x-3│≥│（x-4）-（x-3）│=1，当且仅当x∈[3，4]时，等号成立。

所以f（x）min=1，因此的a取值范围是a∈[1，+∞]。

评注：例2表面上看本题不能使用基本不等式，但只要稍留心便能从两个分母中发现“名堂”，一个分母是，另一个分母是，两数之积正好为“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其实，即便不是“1”也可类似处理，只是式子前面要多乘一个系数。例4采用了绝对值三角不等式快捷的求出了参数的取值范围。

方法三： 数形结合法

将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性的用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷，也是解决最值问题的一种常用方法。

例4 已知实数x、y满足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。

分析：如果把等式看成圆的一般式，那么就有点（x，y）在圆（x-3）2+（y-3）2=6上，那么表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线OA、OB（A，B为切点），则的最值分别是直线OA、OB的斜率。

解：设，即y=kx，∴，

整理为k2-6k+1=0。解得。

∴，。

前面通过实例，分析了解决最值问题的几种常用方法，虽然是分开叙说的，但它们并非是单独无联系的。就一道题目里面，有时也可以几种方法并用，如例3可以用单调性法，也可以用不等式法等。当然，解决最值的方法远远不止这些。比如换元法，图象法等等，这里只是对求最值的方法作一个部分的归纳。我们应该在掌握各种方法的基础上，要会比较各种方法对解决某一具体问题的优劣做到具体问题，具体分析，灵活处理。弄清问题的关键，理解解题的实质，探求解题途径的最佳方法。最后，希望通过本文的总结，能对学生们解决最值问题的能力提高有一点帮助。