数学思想方法及在教学中的应用

韩媛媛　姚占平

数学本身具有严密的逻辑性、高度的抽象性和应用上的广泛性。数学知识的传授是引导学生观察比较、分析综合、分类归纳、抽象概括的过程。这引起活动的展开，不仅可以培养学生的逻辑思维能力、动手能力，而且可以促进学生的良好学习习惯、顽强的学习意志等非智力因素的形成与发展。只重视讲授知识，而不注重渗透数学思想方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段。反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略甚而知识的教学，主会使教学流于形式，学生也难以走访领略到深层知识的真谛。数学教学应与整个基础知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

一、数学思想方法的分类

1.函数与方程的思想方法。函数思想指的是提到问题的数学特征，用联系变化的观点提出数学，抽象其数学特征，建立函数关系。很明显 ，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思想过程中，具备有标新立异、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

2.数形结合的思想方法

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，使问题化难为易，化抽象为具体。

3.分类讨论的思想方法

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在人的思维发展中有着重要作用。如“参数问题”对中学生来说并不十分陌生，它实际上是对具体的个别的问题的概括。从绝对值、算术根以及在一般情况下讨论字母系数的方程、不等式、函数，到曲线方程等，无不包含着讨论的思想。

4.等价转化思想

等价转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，是一种重要数学思想方法，转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求转化中前因后果应是充分必要的，这样的转化后的结果仍为原问题所需的结果：而非等价转化其过程是充分或必要的，这样的转化能给人带来思维的闪光点，看到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分。转化思想贯穿于整个高中数学之中，每个问题的解题过程实质就是不断转化的过程。

二、数学思想方法教学的主要途径

数学思想方法是数学概念、理论的相互联系和本质所在，是对数学规律的理性认识和本质体现。初、高中的衔接不仅仅是知识点的衔接，更是思想方法、思维习惯、学习习惯、学习方法的衔接。因此，要培养学生的数学能力，就必须重视数学思想方法的教学。学生在数学学习中掌握了数学思想方法，既可以提高理论水平，又可以用它指导做题实践，而在做题反思中，学生的数学思想方法又得以不断充实、丰富和完善。

为了使学生掌握必要的数学思想方法，需要从教材和教法两方面有机结合进行，在教材中要渗透数学思想方法，在教法中要应用数学思想方法。数学思想方法的教学要结合教学内容进行，不能脱离教学内容只传授形式。脱离了数学思想方法指导的教学和脱离了内容的数学思想方法的教学都是不全面的教学。数学思想方法蕴含在数学基础知识和基本方法之中，正是有了数学思想方法，才使得数学知识不再是零散的、孤立的片断。学生如果掌握了基本的数学思想方法，数学将变得更加容易理解和记忆，他们驾驭知识的能力也更强了，而且会使其它学科更容易学了。

高中数学中所用的数学思想方法有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、或然与必然思想、整体思想、对称思想、换元思想、极限思想、参数思想、建模思想等。数学思想方法的掌握要靠平时的积累，临时抱佛脚是行不通的。

1.用数学思想指导基础复习，在基础学习中培养思想方法

（1）基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥交点的情况，利用数形结合的思想方法，使问题清晰明了。

（2）注重各知识点在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程、不等式，联想函数图象可提供方程、不等式的解的几何意义，运用转化、数形结合，这三块知识可相互为用。

2.用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识

（1）注意分析探求解题思路运用

解题的过程中就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程。解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。

（2）注意数学思想方法在解决典型问题中的运用

例如选择题中的求解不等式 ，虽然可以通过代数方法求解，但若用数形结合，转化为直线与半圆的位置关系，问题变得非常简单。

（3）以数学思想方法为指导，进行一题多解的练习

这种对习题灵活变通、引伸推广的做法，能有效地培养学生思维的发散性、灵活性、深刻性和抽象性。

数学思想方法是高考考查的重点和热点，我们在数学教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学。学生对数学思想方法的掌握是螺旋式上升的，不能一蹴而就，而应当针对学生的认知水平，结合数学教学内容自然而然地、潜移默化地进行，是“润物细无声”的过程。