巧用数形结合法解答高考题

潘克和

数形结合法是一种重要的数形解题方法，但在历年高考中，考生在涉及数形结合知识的题目的得分率都比较低.为了使广大考生对数形结合法有更多的了解，本文结合历年高考题谈谈数形结合法在解题中的应用.

一、把数量关系转换为圆的问题

圆的方程是高中数学的一个重要章节，是从数量方面研究圆的性质，解决这类问题的基础就是要熟悉圆方程的几种表现形式.如参数方程：x=a+rcosa，y=b+rsina（表示圆心为（a，b），半径为r的圆）；标准方程或普通方程的变形：y-b=r2-（x-a）2（表示圆心为（a，b），半径为r的上半圓）；等等.

解：由圆参数方程易知，点M是以原点（0，0）为圆心，1为半径的圆上的点，从而问题转化为判断直线xa+yb=1与圆x2+y2=1有交点的充要条件问题.根据直线与圆有交点的充要条件是d≤r11a2+1b2≤11a2+1b2≥1，故选D.

二、把数量关系转化为直线斜率问题

涉及求有关y-bx-a的值时，可把y-bx-a看做是两点A（x，y）、B（a，b）连线间的斜率，从而把代数问题转换为几何图形问题.

图2解：kOA=yx可看做是两点A（x，y）、O（0，0）间连线的斜率，由约束条件“x-y+2≤0，x≥1，x+y-7≤0”作出可行域（如图2阴影部三、把数量关系转化为两点间距离问题

涉及求有关（x-a）2+（y-b）2的值时，可把（x-a）2+（y-b）2看做是两点A（x，y）、B（a，b）间的距离，从而把代数问题转换为几何图形问题

例5（2006，湖南，12）已知x≥1，x-y+1≤0，2x-y-2≥0，则x2+y2的最小值是.

图4解：d=x2+y2可看做两点A（x，y）、O（0，0）间的距离，则x2+y2=d2，当d最小时，d2也取得最小值.由约束条件“x≥1，x-y+1≤0，2x-y-2≥0”作出可行域（如图4阴影部分），由图可知可行域内的点A（1，0）与O（1，0）距离最小，所以dmin=1，从而d2min=1.

四、函数图像的应用

指数和对数函数的图像及性质是高中数学的一个重要知识点，而高考题往往是以判断超越方程根的情况的形式出现.解这些题目关键是能分离变量，画出函数的图像，把代数方程根的问题转化为图像的交点问题.

解：由2a=log12a知x=a是方程2x=log12x的根，即函数y=2x的图像与函数y=log12x的图像的交点的横坐标为a.

图5同理，函数y=（12）x的图像与函数y=log12x的图像的交点的横坐标为b；函数y=（12）x的图像与函数y=log2x的图像的交点的横坐标为c.作图易得a

以上是结合历年高考题对考查数形结合方法的考题按考点进行分类，方便学生理解掌握，从而提高学生的数学应用能力.当然，有些复杂函数图像还需要通过应用导数的知识去判断函数的性质，才能够较准确地画出其图像，从而结合图像解决相关问题.

（责任编辑：金铃）