初中平面几何辅助线的学习探讨

王小迪

初中平面几何是一门基础性课程，它引领学生逐步走进平面几何图形的研究领域，激发其探究欲，培养其想象、推理、判断等能力。而解几何题的基本过程在思路上往往就是将复杂的图形通过添加适当的辅助线转化为容易观察、对比的图形，便于学生化难为易，巧妙解题。要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事，必须经过长期训练才能达到。

初中几何辅助线教学方法通过作辅助线来解几何题，本身就是平面几何教学的难点，许多学生感到很茫然，不知道从何下手去作辅助线解题，尽管教师讲得淋漓尽致，但老师一放手，遇到新题型，有的学生又懵了，有的干脆乱画辅助线，像走迷宫一样绕不出来。那么，究竟怎样进行辅助线的教学？教学活动应借助开放、互助的教学形式与方法、手段，首先要激发学生探究几何图形的浓厚兴趣，让他们在兴趣的支配下主动去反复探究，不断总结经验，积累解题技巧。

一、添加适当的辅助线

当题目的题设和结论之间的逻辑关系不太明朗、甚至“彼此孤立”时，可以通过添加适当的辅助线，把题没条件中隐含的有关性质充分显现出来，扩大了已知条件，从而有利于迅速找到题目的最近切入口，进而推导出题目的结论。

例1.D是ABC的边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，ED的延长线交AB于点F，求ED∶EF

思路一：过C作AB的平行线变DE于G，由D是AC的中点可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，从而得ED：EF=3∶4

思路二：过D作BE的平行线交AB于I，类似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，从而得ED∶EF=3∶4

思路三：过D作AB的平行线交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4

二、用平移、旋转、对称法添加辅助线

平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换，在解几何证明题时利用平移、旋转、对称添加辅助线是基本思路和常用的方法。引导学生在分析图形特点的同时，掌握适当的添加辅助线的方法，对于提高学生的解（证）题能力是十分重要的。

1.利用平移添加辅助线

涉及梯形一类问题，往往将梯形的腰或对角线平移，构成平行四边形和三角形。

例2.梯形ABCD中，DCAB，A和B互余，M、N分别是DC、AB的中点，求证：MN=（AB-CD）.

分析：将DA平移至ME，CB平移至MF，则构成了□AEMD□BFMC和□EMF，易证EMF是直角三角形，且MN是斜边EF上的中线，则有MN=EF，而EF=AB-CD，当然，还可以通过添加其他辅助线完成，但这样添加比较快捷。

例3.已知梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，ED平分∠ADC，且AD+BC=CD，求证：ECDE，EC平分∠BCD。

分析：将AED绕点E旋转，使A和B重合，点D落在CB的延长线上，则AED和BEF全等，可得DE=FE；由题条件易知么2=F，则CD=CF，根据等腰三角形三线合一性质可得结论。

涉及正方形有关问题往往将某一三角形绕顶点旋转一定的角度，随着图形的变换，问题就可解决。

例4.正方形ABCD中，M、N在边BC、CD上，MAN=45；求证：MN=MB+ND.分析：将∠AND绕点A顺时针旋转90°，则和∠ABE重合，可得∠EAN=90°，AE=AN，BE=DN，由∠MAN=45°得∠EAM=MAN=45°，那么AEMANM，MN=ME=MB+BE=MB+DN.

3.利用对称添加辅助线

在三角形有关线段和、差问题，往往借助角平分线把一个三角形沿角平分线翻折，构造三角形全等，进行等量代换。

例5.已知，等腰直角三角形ACB中，∠C=90°，AD平分CAD，求证：AB=AC+CD。分析：延长CD到E，使CE=CA=CB，则可证明CAMCEM、CBNCEN，可得：ME=MA，NE=NB，1=A，2=B；所以∠MEN=90°，利用勾股定理：MN=ME+NE=MA=NB。上述两例在添加辅助线问题中也称截长补短。

三、其他添加辅助线问题

1.在比例线段问题计算和证明中，常作平行线

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

2.见中点引中位线，利用中位线的性质

例6.ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F，求证FC=2AF。

证法1：由已知D是BC边的中点，E是AD边的中点，容易想到用中位线来解决问题。过点D作DGAC交BF于G，则G为BF的中点，DG是BFC的中位线，可得FC=2DG；由E是AD边的中点：DGAC，易证DG=AF，所以FC=2DG。

证法2：过点D作DGBF交AC于G，由D是BC中点，则FG=GC；由E是AD中点，DGBF，则AF=FG，所以AF=FG=GC，即可得FC=2DG。

例7.ABC中，LB=2C，且A的平分线为AD，问AB与BD的和等于AC吗？

思路一：在长线段AC上截取AE=AB，由ABDAED推出BD=DE，从而只需证EC=DE.

思路二：延长短线段AB至点E，使AE=AC，因而只需证BE=BD，由AEDACD及B=2C，可证E=BDE，从而有BE=BD.

思路三：延长AB至E，使BE=BD，连接ED，由ABD=2C，ABD=2E，可证AEDACD，可得AE=AC，即AC=AB+BD.

3.两圆相交、相切问题

相交两圆常通过连结公共弦来辅助解题；相切两圆常通过切点作公切线来辅助解题。当然，这几个例题只是两圆问题中的几个典型，还有许多其他题目，不一定都使用上述添加辅助线的方法，遇到实际问题还要结合题目条件分析，该添则添，切不可生搬硬套。

初中平面几何添加辅助线只是解决诸多数学问题的一个方面，通过解决这一类问题，目的在于使学生掌握考虑数学题的基本思想方法，从而有效处理其他的问题。