一道课本例题的“说题设计”

赵秀杰

题目：人教版数学九年级下册课本第9页例3.

[例3] 画出函数y=-12（x+）2-1的图像，指出它的开口方向、对称轴及顶点.怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=-12（x+1）2-1？

下面我将从审题分析、解题过程、总结提升、评价分析这四个方面逐一说明.

一、审题分析

（一）题目背景

1题材背景：本题出自人教版数学九年级下册“26.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像”第3课时的例3.

2知识背景：本例题涉及的知识点有：①描点法画函数图像的步骤；②二次函数y=ax2、 y=ax2+k、 y=a（x-h）2的图像、性质及图像间的相互关系.

3方法背景：根据已有经验及知识间的内在联系，大胆猜想后画图验证，从函数对应值表、图像、解析式观察抛物线的平移规律.

4思想背景：数形结合思想、平移变换思想、化归思想、坐标思想、从特殊到一般思想.

（二）学情分析

1学生特点：本题的教学对象是毕业班学生，他们的观察能力有所发展，抽象逻辑思维开始占优势，具有从一定问题中抽象概括出一般规律的能力.

2估计学生会出现的困难：当知识点单个呈现时，学生会较熟悉，易于掌握.但综合在一起，学生就不容易理解、归纳概括出一般规律.

3策略：学生已掌握了利用描点法画函数的图像，能从图像上认识函数的性质.本题的教学应从分析教材的编写意图出发，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.

（三）重、难点

重点：在二次函数y=ax2及其图像的基础上，研究二次函数y=a（x-h）2+k的图像及其与y=ax2图像的关系.

难点：探索和发现二次函数y=a（x-h）2+k的性质及抛物线的平移规律.

突破难点的关键：从“数”的角度，通过函数对应值表，引导学生发现抛物线的平移规律.

（四）教材编写意图

研究函数的“三部曲”：定义、图像、性质.结合图像讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法.本章从最简单的二次函数y=ax2开始逐步深入地讨论一般二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质.这也突出体现了《数学课程标准》的要求：教材内容的编排和呈现要突出知识的形成与应用过程.

以下是二次函数知识间的内在联系：

在这里我以两条主线展开：函数的图像、函数的性质，充分体现数形结合思想.（1）y=ax2，从形的角度看，a决定开口方向、大小；从数的角度看它的性质：①开口方向；②对称轴；③顶点坐标.（2）y=ax2+k，k决定上下平移的方向和距离，性质还是这三条，因为上下平移，所以顶点的纵坐标改变.（3）y=a（x-h）2，h决定左右平移的方向和距离，因为发生了左右平移，所以性质中的对称轴和顶点坐标都发生变化.本题是形如y=a（x-h）2+k，是前几种情形的综合，我们同样从形的角度分析a、h、k的意義，从数的角度分析这三方面性质.而我们后面要讨论的一般二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方转化为y=a（x-h）2+k，体现了化归思想，例3的解决也起到了承上启下的作用.

二、解题过程

（一）知识回顾

1抛物线y=2x2-9的开口向，对称轴是，顶点坐标是，它可以看做是由抛物线y=2x2向平移个单位得到的.

2.抛物线y=-（x-1）2是由抛物线向平移个单位得到的，平移后的抛物线对称轴是直线，顶点坐标是，当x=时，y有最值，其值是.

3若抛物线的对称轴为直线x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，则抛物线所对应的解析式是.

通过3道不同类型的练习，让学生回顾几种函数的图像、性质，为例3的学习做好铺垫.

（二）问题设计

本题要解决三个问题：①画出函数图像；②指出它的开口方向、对称轴、顶点；③描述它的平移过程.有了前面的知识铺垫，前两个问题较容易解决.问题3是学生的难点.类比y=ax2+k可由y=ax2上下平移得到，y=a（x-h）2可由y=ax2左右平移得到. 为此我设计两个思考问题.

1.函数y=-12（x+1）2-1的图像能否由函数y=-12（x+1）2的图像通过上（下）平移而得到？

2.函数y=-12（x+1）2-1的图像能否由函数y=-12x2-1的图像通过左（右）平移而得到？

我估计学生的思考和猜想会很简单，他们会回答“可以”.但为什么可以？学生也是知其然，但不知其所以然.所以接下来应引导学生从数、形两个角度阐述.

问题1：

x…-3-2-10123…y=-12（x+1）2-2-050-05-2-45-8y=-12（x+1）2-1-3-15-1-15-3-55-9我通过列表，并填充不同的颜色，让学生直观地发现，从数的角度分析：当点的横坐标相同时，y=-12（x+1）2-1上点的纵坐标的值总比y=-12（x+1）2上点的纵坐标的值小1，说明图像向下平移了1个单位.从形的角度分析，我通过几何画板的动态演示，更直观、形象地得到它是由上一个函数图像向下平移一个单位得到.从而得出式子①，进而抽象得出式子②.

x…-3-2-10123…y=-12x2-1-55-3-15-1-15-3-55y=-12（x+1）2-1-3-15-1-15-3-55-9我先从数的角度引导学生观察表格，标注不同的颜色，让学生发现相同颜色的数字有何关系.这样直观地教学，学生会较容易发现：当两个函数上点的纵坐标相同时，横坐标总相差1.从而我们得出y=-12（x+1）2-1的图像是由y=-12x2-1向左平移1个单位得到的. 再从形的角度分析，我通过几何画板的动态演示，更直观、形象地得到它是由上一个函数图像向左平移一个单位得到. 从而得出式子③，进而抽象得出式子④.

学生对于上下平移易于理解，左右平移易出错.在这里我就很好地突破了这个难点.使学生知其然，并知其所以然.

通过思考问题的解决，可以得出以下两个结论，对学生解决例3中的第3个问题做了很好的铺垫.

（三）解决问题

在学生解决问题后，教师展示规范的解法，让学生注意列表、描点、连线画函数图像时，要根据抛物线的对称性取值，如可以先确定抛物线的对称轴x=-1，再对称取点.最后演示抛物线的平移过程，让学生更直观、深刻地理解平移规律.

（四）观察、归纳

由例3得出进而抽象概括出以下式子：

在这里，左右平移的方向是学生的易错点，可先确定对称轴，令x-h=0，x=h，如令x+1=0，得抛物线的对称轴x=-1，从而确定图像是向左平移1个单位.

三、总结提升

（一）解题方法总结

分别从数的角度归纳二次函数y=a（x-h）2+k的性质，从形的角度归纳图像的特点及平移规律.

（二）题目变式延伸

1.抛物线y=3（x-1）2-4可由抛物线y=3x2先向平移个单位，再向平移个单位得到.

2.二次函数y=-2x2向上平移5个单位得到，再向左平移4个单位得到， 根据最后得到的解析式，指出函数的性质.3.分小组编题训练：①已知平移后的解析式，说出它的平移过程；②已知平移过程，写出平移后的函数解析式，并说出函数的性质.

围绕教学重点，我做如下两类变式：①已知平移后的解析式，說出它的平移过程； ②已知平移过程，写出平移后的函数解析式，并说出函数的性质.同时，让学生围绕这两种变式进行分组编题训练，这样在巩固学生所学知识的同时，学生思维的灵活性和深刻性也得到了提升.

四、评价分析

（一）教法设计

1注重形成平等的师生关系，体现教师是学生学习的组织者、引导者、合作者.

2重视引导学生独立探究，独立分析，主动合作，让学生在自主探索、合作交流中理解掌握知识技能，提高素质.

3能恰当合理运用现代教育技术.

（二）教学反思

1.本题对函数的研究我以两条主线——图像和性质展开.从形的角度分析较直观，但如何从数的角度分析函数的性质是个重点也是难点.我通过问题的设置，引导学生观察图表，通过点的坐标变化发现平移规律，很好地突破了难点.

2.二次函数的教学是初中数学的重中之重，教学中我突出前后知识的紧密联系，本题教学起着承上启下的作用，它也是与高中坐标平移内容很好的衔接.

3.人民教育出版社主任，本教材的主编章建跃博士说，要教好数学，务必做到三个理解：“理解数学、理解学生、理解教学”.准确把握课标要求，深入钻研教材，了解教材的编写意图，理清知识的发生、发展过程及其内在联系，是教好数学的重要前提.

注：此文荣获“2012年南宁市首届初中数学说题比赛”一等奖.（责任编辑黄春香）二、情境教学激发策略