基于“四基”建构的数学课堂教学设计

廖翔

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，即在传统“双基”的基础上，提出了“四基”的课程目标。课堂教学设计是教师对教学活动的规划和预设，是教师提高课堂效率，贯彻课程目标的重要准备工作。修改后的“课程标准”，要求教师明确 “四基”概念，从“四基”的建构性角度进行教学设计。

一、 “四基”的概念

数学知识是人类数学思考的结晶和成果，包括概念、公式、定理法则等。数学技能是人们为完成数学任务而采用的系列性的外部动作和心智活动，如作图技能、运算技能、读写技能等，练习可使技能达到准确娴熟。知识是技能的操作原理，但拥有技能却不能说明理解了相应的知识原理。如用圆规画圆是基于圆的半径相等、圆的半径有无数条等知识点，但很多学生会用圆规画圆却不能说出理由。

对于新增的“数学基本思想”，我国著名学者史宁中指出：数学基本思想即抽象、推理和模型。抽象就是人们用数、形、符号来表示客观事物及它们之间的关系；推理可分为归纳推理和演绎推理两类，归纳是从特殊到一般的合情推理过程，结论具有或然性，可称之为“猜想”。演绎是从一般到特殊的逻辑推理过程，其结论是必然的，演绎就是“证明”。数学模型在《简明数学词典》里的定义是：根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结出表示此对象运动规律和状况的一种抽象、简化的数学结构（数学公式、图形或具体算法），称为这种对象的数学模型。根据这一定义，学生面对一类具体问题时，能主动、自觉地归纳或寻求公式、图表和算法，就是用模型的思想来解决问题。值得注意的是：数学基本思想不同于数学思想方法，数学思想方法是依赖于数学基本思想所形成的解决数学问题的一般方法，是基本数学思想的具体表现形式，如函数思想方法就是要建立数量关系的模型。因此数学思想方法的教学需要归结于对数学基本思想的教学。

如果说数学基本思想追求的是对客观世界的理性认识，那么数学活动经验则是感性的，它是人们在数学操作、思考、交流活动过程中的感受、体验和感悟，带有主观色彩和情感成分，是可错的、可变的。经验同时具有迁移性，即人们在面对相同或相似问题时会采取一贯性的态度和做法。当人们的感性经验积累到一定程度后，必然会产生对事物本质和规律的认识需求，通过抽象、推理、模型化的思维活动（在这个过程中，旧的数学知识技能是思维的重要载体，过去相关联的活动经验被激活），感性经验上升到理性认识，新的数学“知识和技能”产生了；可见，无论是数学学科体系的建构还是个人数学认知结构的建构都离不开“四基”的协同作用。“四基”是一个整体，不可分割。重视“四基”能使学生经历“数学化”的活动过程，提高数学素养，培养其创新和应用意识。课堂教学必要关注“四基”的和谐构建。

二、 “四基”的建构性教学原则

1.知识技能是教学活动的基础

建构主义认为：学习是在新旧知识的相互作用（同化和顺应）下认知结构的不断发展过程。这一过程能否顺利实现首先依赖于旧知识的巩固程度。教学实践表明，技能是否准确娴熟影响着学习的速度。教师的教学理所应当以学生原有的知识技能为基础展开，新授环节展开前应确保学生相关旧知识的清晰性和稳定性，教学活动过程中教师应注意学生的障碍是否与旧知识有关，相關技能的熟练程度是否影响到学生活动的进度，以便及时进行个别或集体指导，减少“启而不发”的现象。

2.数学活动经验是教学活动的起点

建构主义认为，个人都是基于自己原有的知识经验来理解外部世界的。对于个人的记忆来说，原有的知识技能是静态的，而过去的活动经验则是动态的，因而活动经验更能调动学生的主动性和积极性。事实上，学生在生活和学习中积累了或多或少的数学活动经验，因此教师的教学不能以“零”为起点，而应当“激活”学生的活动经验，使学生在熟悉生动的情境中展开数学的思考。把数学活动经验作为教学的起点，除了“激活”还可以是“积累”。我们知道，“猜想——证明”是获得数学结论的重要方式，但“猜想”并不是无中生有，必须有足够的经验积累才能使学生“看”出其中的特点和规律，如“乘法分配率”的获得是在经历大量的演算基础上归纳得出猜想进而寻找证明方法的，在教学中，如果仅由一两道算式就引导学生观察就不能体现归纳推理的运用过程，不利于学生认知结构的构建。可以说，大量的活动经验是引发数学思考的土壤。

3.基本数学思想是贯穿教学活动的主线

基本数学思想贯穿于数学知识的发生、发展过程，是学生理解数学所必须依赖的。小学生正处于直观形象思维向抽象逻辑思维的过渡，因此，教师应当以数学基本思想为主线设计启发性问题并提供计算、操作、观察等活动层层铺垫逐步深入帮助学生在丰富的感性经验的基础上顺利地实现抽象、展开推理、建立或利用模型。

三、 “四基”建构的课堂教学设计内容

1.教学目标

课堂教学目标是课程目标在每一节课中的具体落实，一方面要反映课程目标的指导思想，另一方面要表明学生能够达到的课程目标的具体程度。教师可从“四基”出发制定教学目标并以“通过（数学活动经验）、运用（数学基本思想）、记忆、懂得、理解、运用、创造（知识技能）”的形式来表述。如：“借助填充活动归纳猜想长方形的面积公式并运用逻辑推理解释公式，达到对公式的初步理解”。其中知识技能目标可参考教材教参确定，所涉及的数学活动经验、数学思想方法则取决于教师对学生、知识生成过程的视角及理解程度，不必一锤定音，教师可做初步的构想，以此为据设计教学活动，并通过对活动细节的思考不断检验修订教学目标，如此反复，教学目标成为教师检验教学过程设计效果的依据，而教学目标也逐渐变得具体明确可测，利于教师精确地把握课堂教学。

2.学生原有知识技能和活动经验分析

数学学科知识结构是非线性的树状逻辑结构，各知识点之间有着稳定的逻辑联系。而学生头脑中的数学认知结构则处于不断重组扩大的变化过程，每个学生的数学认知结构中知识点的数量和联系方式都不尽相同。有效的教学就是要促进知识的逻辑结构向认知结构转化，教师务必掌握知识的逻辑结构，厘清与本节课目标知识有逻辑联系的各知识点，在此基础上分析这些知识点是否已存在于学生的认知结构中，其相互关系是怎样的，稳定性如何。数学活动经验是知识技能在头脑中的动态反应形式，与数学活动经验相结合的知识技能具有良好的稳定性和可迁移性，教师不仅要分析学生原有的知识，还要分析这些知识的背景即数学活动经验。

3.认知障碍分析

认知障碍分析就是要找到教学目标与学生的认知结构发展水平之间存在的差距，在此基础上分析缩短或消除这些差距可能碰到的困难以及突破这些困难学生需要哪些帮助。

4.教学重点、难点

在“四基”的建构性教学设计中，教学重点不仅落在知识技能上，还可以是本节课知识技能生成过程中重要的数学思想和经验。难点亦如此。

5.教学过程

（1）复习环节

复习是“四基”建构性教学必不可少的环节。复习的内容要结合“学生原有知识技能和活动经验分析”制定；复习的形式不是对旧知识简单的机械回忆，而是要调动承载旧知识的活动经验，使旧知识生动鲜明，提高旧知识技能的可利用性，促进迁移。如学习“小数的加减法”应复习整数的加减法及小数各数位的意义。如果直接提问学生：“整数的运算法则是什么？计算时要注意哪一位对齐？小数点后一位是什么数位？——”则学生回答这些问题只需机械回忆，旧知识的可利用程度低。教师可设置如下问题进行复习：①纠错并说明理由 ②小数5.55中的三个5表示的实际大小相同吗？回答这样的问题，是学生对过去相关计算、辨析活动经验的再反思及整合，在活动背景中旧知识随之变得更清晰更有意义，有利于迁移。

（2）新授环节

“四基”的建构性教学是活动的教学，活动的目的是促使学生运用数学思想展开思考，从而理解知识，形成优良的认知结构。要教会学生思考，问题是必不可少的。基于此，“四基”的建构性教学过程可以按以下步骤进行：激活（积累）数学活动经验——发现探索类问题——提供表述类问题和活动——总结解题思路（提炼数学思想方法）——提发散类问题。其中，探索类问题的常用提问语是“为什么是这样？怎么办？”它反映了本节课的知识目标，问题难度大，如果教师提出，会让学生感到枯燥，心生畏惧，为此教师要在学生原有知识技能和活动经验分析的基础上创设生活和游戏、操作等情境，以激活或积累学生相关的数学活动经验，当感性经验足够多使得学生发现一定的规律时，学生就能顺利地进行抽象并提出探索类问题；探索类问题需要运用推理和模型的思想方法解决，小学生往往不能直接运用抽象思维，教师就要为学生提供具体直观的材料开展计算、观察、操作、实验等活动以积累经验，并以“是什么？怎么样？”等难度较低的表述类问题引导和提示学生进行推理和建立模型。如長方形面积公式可由以下逻辑推理获得：“因为长方形面积的大小就是它所包含的单位面积的个数，又因为长方形所含的单位面积个数等于长方形的长乘以宽，所以长方形面积等于长乘以宽”。前提是学生必须理解“面积和单位面积”的概念，头脑中能形成长方形被分割成若干个小正方形的表象。基于以上分析，教师可设计如下活动：用面积为1cm2的小正方形填充面积不同的长方形（分够填和不够填两种，每种可提供两个以上不同面积的长方形让学生操作使其获得充足的感性经验），在“够填”的活动中，学生通过数小正方形个数可知长方形面积值，通过计算可发现长方形的长乘宽得数与长方形面积值相等，易形成猜想：“长方形面积等于长乘宽”，学生往往满足于猜想将之作为结论；而“不够填”的活动目的就是借助直观促使学生运用逻辑推理解释：“长方形面积等于长乘宽”。为此，教师应设计如下表述类问题①长方形面积和小正方形个数有什么关系？②长方形里有几个小正方形？你是怎么算出来的？课堂上教师可根据学生的活动表现适时提出以上问题引导学生思考。发散类问题的常用提问语是：“还有别的办法（想法）吗？”教师可根据知识的逻辑结构找出发散类问题并对学生可能的回答做充分的准备。

（3）练习环节

在“四基”的建构性教学中，练习不仅仅是对新知识技能的巩固和简单应用，还应促进学生对数学思考、数学活动的反思和理解。如：求长5米宽3米的长方形地面面积。这样的练习仅能达到熟记面积公式的目的，在此基础上增加如下练习：分别用面积为1m2，1dm2的小正方形铺这个长方形地面，各需要多少块小正方形？就能促进学生回忆和理解长方形面积公式推导的过程。

总之，在“四基”的建构性教学设计中，教师要充分利用学生在数学活动经验中的感性认识，借助数学基本思想推进教学活动的进程，使学生的感性认识逐步趋于理性认识，从而理解新的知识技能，达到“四基”的和谐构建。

参考文献

[1] 史宁中.漫谈数学的基本思想.中国大学教育.2011（7）.

[2] 汪潮.解读“建构性”教学.浙江教育学院学报，2001（11）.

[3] 罗朝阳，张宏斌.基本数学活动经验研究述评.吉昌学院学报，2011（6）.