用二项式定理解决整除问题举例

吴开瑞

关于整数的整除性的中学数学习题不少。不少学生认为整数的整除问题非常复杂，尤其在竞赛中，一遇到此类问题，学生往往觉得心有余而力不足。如在证明命题“4n+15n-1（n∈N）能被9整除”和命题“62n-1+1是7的倍数（n∈N）”时，很多学生会用数学归纳法来证明它们。但如何更加简单、有效地证明此类命题呢？笔者认为，二项式定理能很好地解决上述问题，我们有“对于任意的两个整数a和b（b>0），则有唯一的整数q和r，使得a=bq+r（0≤r

利用二项式定理展开：

N= +15n-1

= +18n

=32 +18n

=9×（ +2n）

所以，由（1）式可知4n+15n-1能被9整除。类似的，我们可以证明上面给出的另一个命题成立。

在上面的命题证明中，我们看到了整除定理和二项式定理的作用。那么，我们能否用二项式定理来解决一般的整除问题呢？让我们来讨论一下这个问题。

首先，笔者给出一些常见的整除定理及证明。如：

定理1 整数a能被2整除的充要条件为a的个位数能被2整除（即个位数为偶数）。

证明：设a=anan-1……a1a0（a>0）

则a=（an10n+an-110n-1+……+a1·10）+a0=2m+a0

所以，若a0能被2整除，则a亦能被2整除；若a能被2整除，则a0亦能被2整除。

定理2 整数a能被3或9整除的充要条件为a的个位数字和能被3或9整除。

证明：设a=anan-1……a1a0（a>0）

则a=an10n+an-110n-1+……+10a1+a0

所以，当a能被3或9整除时，则 能被3或9整除；反之亦然。

定理3 整数a能被11整除的充要条件为a的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

证明：设a=anan-1……a1（a>0）

则a=an10n-1+an-110n-2+……+10a2+a1

=an（11-1）n-1+ an-1（11-1）n-2+……+a2（11-1）+a1

=an +…+11a2-a2+a1

=11m+[（a1+a3+……）-（a2+a4+……）]

所以，结论成立。

在以上定理的建立中，二项式定理起到了“桥梁”的作用。下面，笔者举例说明几个利用以上定理来解决整除问题的例子：

例1：若四位数N的前两位数字相同，后两位数字又相同，则N一定为11的倍数。

证明：根据题目的意思，可设N=aabb，即N=103a+102a+10b+b。

很显然，（b+a）-（b+a）=0，而0是11的倍数，所以由定理4可得N是11的倍数。

例2：任一n位数p，将其数字按逆顺序重新排列得一个新的n位数q，求证：p-q能被9整除。

证明：设p= anan-1……a1（a>0）

= an10n-1+an-110n-2+……+10a2+a1

而q=a1a2……an

=a110n-1+a210n-2+……+an

所以，p-q=（an-a1）10n-1+（ an-1-a2）10n-2+……+（a1-an）

这样，各位数字之和为 - =0

故由定理2知结论成立。

从以上各例可以看到，二项式定理在解决整除问题中扮演了重要“角色”。灵活使用二项式定理，能简单有效地解决整数中的整除问题。

（作者单位：江西省横峰县新篁学校）