一道函数试题的析题展示

王建鹏

“析题”是近年来新兴的一项教研活动.去年，笔者有幸参加了福建省第二届中小学教师教学技能大赛，其中中学数学的学科技能环节的比赛项目就是解题析题.

“析题”不同于以往的“说题”，是指执教者在精心做题的基础上，立足学生的角度，阐述在题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律并进行拓展引申.析题的关键在“析”，内核在于“用题去教”，即通过对学情的预设，选择题目做传输带，刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而形成新的知识经验.其本质是通过对“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”，从而将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者有机结合.本文拟以2011年福州市高三质检理科卷第20题为例进行析题，以期抛砖而引玉.

1展示题目

（2011年福州市高三质检理科卷第20题）设函数f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=ax，F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅰ）若x =0是F（ x ）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a =1时，设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x轴，求P，Q两点间的最短距离；

（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（ x ）的图象恒在y=F（？x）的图象上方，求实数a的取值范围.

2 试题评价

2.1 考试评价功能

本题主要考查函数的单调性与最值、函数的图象与零点、导数的综合应用等基础知识，并以这些基础知识为载体，考查学生的抽象概括能力、推理论证能力与运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.试题凸显对函数与导数学科本质的考查，并通过与三角函数知识的交汇，来实现对学生综合运用学科知识分析问题和解决问题的能力的考查.试题的主要亮点有（1）很好地实现函数、导数与三角函数知识模块的自然交汇， 问题的设置注重几何描述，强调数形结合；（2）问题设置脉络清晰，层次分明，有效地在问题的求解过程中实现对数学思想方法和学科本质的考查.

2.2 教学导向功能

本题的设计切合《课程标准》的基本理念，很好地体现了高中数学立足基础、关注过程、突出思想、把握本质等教与学的导向.重视对学生运用数学语言进行思维和交流的能力的培养，有效引导数学教学由结果教育向过程教育的转变.

3 教学意图

3.1 课堂情景

本题拟作为高三第一轮函数与导数模块复习课的例题.

3.2 学情预设

通过之前的作业和课堂表现，结合平时对学生的观察、了解学生的现有发展区基本特征为：

（1）学生已学习了运用导数解决以三次函数、指数函数、对数函数为背景的单调性与最值问题的基本方法，已有一定的通过构造函数与求导的方法解决不等式含参问题的基础，能较熟练地通过对二次函数图象性质的分析来处理求导问题.

（2）本题的研究对象以指数函数、三角函数为载体，情境较新，学生比较陌生.求导完难以转化成以二次函数为背景的图象性质来分析，需要通过多次的构造函数与求导来处理，对学生的抽象概括能力要求较高.这对学生而言存在相当大的挑战，但对导数的本质理解却至关重要.

3.3 教学目标

基于课程标准的要求、学生情况的实际、遵循教学目标的“三维”理念，确定教学目标为：经历“多次构造函数与求导”的过程，理解每次构造函数与求导的思维成因及意义，提高运用导数工具探究函数的单调性与最值问题的能力，进一步理清解决函数、方程与不等式综合问题的一般规律.

4 教学流程

以波利亚的“怎样解题表”为指导展示析题过程

4.1 弄清题意

4.4 回顾反思

本道试题以指数函数、三角函数为载体，通过多次的构造函数与求导，考查学生全面运用导数工具探究函数的单调性与最值问题的能力.之前学生对于通过对二次函数图象性质的分析来处理求导问题比较熟练，而对于需要多次求导的问题则显得很不适应.本道试题的价值在于，能较好地切中学生原有的知识经验，打破学生的思维定势，贴近学生的“最近发展区”.刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，形成新的知识经验，进而体会研究导数的应用不应只是掌握具体的方法，更要关注对导数本质的理解.

基于上述反思，结合“用题去教”的理念，对试题的第（Ⅱ）问进行拓展延伸.

变式1 （Ⅱ）当a =1时，设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /y轴，求P，Q两点间的最短距离；

变式2 （Ⅱ）当a =1时，设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），求P，Q两点间的最短距离；

变式3 （Ⅱ）设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），且PQ/ /x轴，若P，Q两点间的最短距离为1，求a的取值范围；

构造函数h（ x ）=ex+sinx？ax，

观察h（ x ）=ex+cosx？a和h（ x ）=ex？sinx，

由h（ x ）≥0推出h（ x ）在[0， +∞）单调递增结合h（0）=2？a.不难观察，当2？a≥0时推出h（ x ）在[0， +∞）单调递增，可得最小值为h（0）=1，可类比第（Ⅲ）问思路.

进一步观察h（ x ）=ex？sinx，联想到选修2？ 2第一章习题1.3的B组第一题的在[0， +∞）上ex≥x+1与sin x≤x的结论，考虑进一步缩小范围，令h（ x ） = ex？sinx？1，发现h（ x ）≥0在[0， +∞）仍然成立，考虑令h（ x ）=ex+cosx？x？m，从h（ x ）在[0， +∞）单调递增结合h（0）=2？m出发，不但可以把条件改为二次函数g（ x ）=12x2+mx，同样可类比第（Ⅲ）问思路处理.

变式4 函数f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=12x2+mx，

F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅱ）P（ x1，f（ x1 ））， Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x轴， 若P，Q两点间的最短距离为1，求m的取值范围；

从2012年各省的高考试题来分析，不难看出上述理念在命题思路上得到较好的体现.譬如：12年福建省理科20题，12年山东省理科22题，12年全国大纲理科20题，12年全国新课标文科21题等等.

总之，任何一道数学题，都有它的背景及考查知识和方法的侧重点.

因此，养成对典型例题进行反思的习惯是极为重要的，例如：如何弄清题设与结论之间的内在联系，较快地找到解题的突破口？解题所用的方法是否合理简捷，有没有更好的解法？解题过程是否正确无误，表述是否符合逻辑？解题所用的方法、技能有没有广泛应用的价值？如果适当改变题目的条件或结论，问题将会出现什么变化？有什么规律？等等.这样做就能使我们领悟蕴含在问题的提出、完善和深化的全过程、贯穿在分析问题和解决问题的过程中的数学思想方法，提高综合运用知识的能力.

参考文献[1]罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2004