用节点电压法分析复杂直流电路

钮克芳

摘 要： 电路教学中，复杂直流电路的分析既是重点，又是难点。对于b条支路、n个节点的电路，用支路电流法需要列写b 个方程，由于方程维数较高，因此求解不方便。节点电压法以节点电压为待求量列写方程，它所涉及的变量少、方程数少，是分析、求解电路的较方便和快捷的方法，因而被广泛采用。

关键词： 复杂直流电路 节点电压法 独立节点 互导 自导

在复杂直流电路中，有较多的支路、节点和回路。在对复杂直流电路的分析计算中，经常会遇到节点较少而网孔较多的电路，对这类电路可以采用节点电压法来分析计算。

一、建立节点电压方程

选择电路中任意点为参考点，其余节点与此参考节点之间的电压称为对应节点的节点电压，节点电压方向指向参考节点。如图1，选a点作为参考点。

对于独立节点，根据基尔霍夫电流定律有：

式中，电流源电流指向该节点为正，流出该节点为负；G为各支路的电导，自电导为正，互电导为负。

二、节点电压法解题步骤

1.选定参考节点并标出节点序号，将独立节点设为未知量，其参考方向由独立节点指向参考节点。

2.列写节点电压方程（自电导总为正，互电导总为负，电流源电流指向该节点为正，流出该节点为负）。

具有n-1个独立节点的电路的节点电压方程的一般形式如下所示：

其中，Gii——自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和（包括电压源与电阻串联支路）。总为正。

Gij （ Gji）——互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。

iSii——流入节点i的所有电流源电流的代数和（包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源）。

3.求解节点电压方程，得到各节点电压。

4.选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压。

5.根据题目要求，计算功率和其他物理量等。

三、节点电压法应用举例

1.用节点电压法，求图2电路中各电阻中的电流。

四、用广义节点电压来分析节点电压法中无伴电压源

电路中不与电阻串联的电压源和不与电阻并联的电流源称为无伴电源。含有无伴电源支路的电路有以下两种情况：一种情况是在一个电路中含有一个无伴电压源或虽有多个无伴电压源但它们的一端接在同一个节点上。另一种情况是在两个非参考节点之间接有无伴电压源。

以上两种情况可以通过引入由若干互连的无伴电压源支路及其端节点组成的广义节点，采用节点电压分析法对其进行分析，具体可以用两种常见方法来进行。对第一种情况可以选择电压源的一端（公共端）为参考节点，则另一端的节点电压为电压源的电压，这样不必再对该节点列出节点方程，方程数目为（n-1）个。节点数减少无伴电压源的数目。对第二种情况可以把无伴电压源接在两个非参考节点看做广义节点，将它们看做一个包含电压源及其两个节点的一个封闭区。

从探讨电路分析方法的角度出发，对含无伴电压源支路的特殊电路可以用广义节点电压分析法，从而减少方程数量，简化步骤，不仅有利于手工计算，而且便于计算机编程。

综上，节点电压法是分析处理线性电路的基本方法和常用手段。它的基本思想是适当选择网络变量，让它包含KVL的实质，使KVL自动得到满足，不必再列KVL方程，以节点电压作为未知量，对n-1个独立节点列写KCL方程，从而求出各节点电压，继而进一步求解其他电量。

通常的节点电压法是把无伴电压源中的电流作为未知量列入节点方程，同时增加一个节点电压与该无伴电压源之间的约束关系，列出一个补充方程，使未知量个数仍然与方程数相等，可以解出所有的未知量。在广义节点处作为一个闭合区列出KCL方程同时再对含电压源的回路列出KCL方程，如此处理独立方程数与未知量仍为相等，同样可以解出未知量。注意当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。如电路中含有受控电流源，先把受控电流源当做独立电流源列出节点电压方程，再把控制量用有关的节点电压表示，然后把用节点电压表示的受控源电流项移到方程的左边。

总之，节点电压法应用于节点较少的电路。对于非平面电路，选独立回路不容易，而选独立节点较容易，可用节点法。节点法也易于编程，目前在计算机分析网络，如电网、集成电路设计等采用节点法较多。