两类三角平均的Schur凸性*

张　帆 , 张益池

(湖州职业技术学院, 浙江　湖州　313000)

1　引言

设a,b∈+,则称为两个正数a,b的算术平均，Gh.Toader和J.Sádor在文献[1]中提出了有关两个正实数a,b的三角平均：

当a≠b时，

(1)

(2)

当a=b时，Msin(a,b)=Mtan(a,b)=a。并给出不等式：Msin(a,b)

文献[2]讨论了Msin(a,b),Mtan在[0,π/2]上的Schur凸性，并加细了上述不等式，其结果是：对于a,b∈[0,π/2]，a≤b，有：

本文类比文献[2]，定义如下两个新的三角平均：当a≠b时，

(3)

(4)

当a=b时，Mcos(a,b)=Mcot(a,b)=a。

本文根据凸函数理论，证明Mcos在[0,π/2],上是Schur凸函数，Mcot(a,b)在,[0,π/2],上是Schur凹函数，并由此给出一个新的不等式链。

2　定义和引理

为证明本文的主要结果，需要如下定义和引理：

对于x=(x1,x2,…xn)∈n将x的分量递减重排后，记作x[1]≥x[2]≥…≥x[n]，并用x≤y表示xi≤y1,i=1,2,…,n。

定义1[3]设x,y∈满足：

定义2[3]设Ω⊂n，φ:Ω→R。

(1)若在Ω上x≤y⟹φ(x)≤φ(y)，则称φ为Ω上的增函数；若-φ是Ω上增函数，则称φ为Ω上的减函数；(2)若在Ω上xy⟹φ(x)≤φ(y)，则称φ为Ω上的Schur凸函数；若-φ是Ω上Schur凸函数，则称φ为Ω上的Schur凹函数。

引理1[3]设Ω⊂n是有内点的对称凸集，φ:Ω→φ在Ω上连续，在Ω的内部Ω0可微，则φ在Ω上Schur凸(凹)的充要条件是φ在Ω上对称且对任意x∈Ω0，有：

3　主要结果及其证明

定理1Mcos(a,b)在[0,π/2]上是Schur凸函数。

即

(5)

不妨设F(x)=sin2x，易证F(x)在[0,π/2]上为凹函数，由Hadamard不等式[5]：

(6)

根据引理1可得Mcos(a,b)在[0,π/2]上是Schur凸函数。

定理2在Mcot(a,b)在[0,π/2]上是Schur凹函数。

(7)

下面证明：f(a,b)≤0

(8)

不妨设G(x)=cotx，易证G(x)在[0,π/2]上为凸函数，由Hadamard不等式[5]：

即证：

这是显然的,结论(8)式成立。

推论对于a,b∈[0,π/2],a≤b，有

参考文献：

[1] Gh.Toader，J.Sádor.Inequalities for general integral means[J].Joumal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2006(1):13.

[2] 姜卫东.两个三角平均的schur凸性[J].高等数学研究,2008,11(2): 46-47.

[3] 王伯英.控制不等式基础[M].北京:北京师范大学出版社,1990:59-61.

[4] 李大矛,顾春,石焕南.Heron平均幂型推广的Schur凸性[J].数学的实践与认识,2006,36(9):387-390.

[5] 匡继昌.常用不等式(第四版)[M].济南:山东科学技术出版社,2010:430.