盘点“数据的离散程度”中的数学思想

数学思想是数学的灵魂、精髓. 学习数学不仅仅要掌握数学知识，同时还要掌握数学知识中所隐含的思想方法. 本文试对苏科版九年级上册第2章“数据的离散程度”中蕴含的数学思想加以分析，以期对提高同学们的数学素养有所帮助.

一、 分类讨论思想

分类讨论思想是对事物分情况加以讨论的数学思想. 一组数据中最大值与最小值的差，称为这组数据的极差. 反过来，如果知道一组数据的极差，那么就需要对这组数据的大小情况进行讨论.

例1 一组数据2、-1、4、3、x、5的极差为8，则x的值为_______.

【解析】由于这组数据中，没有明确给出哪个数据是最大值、哪个数据是最小值，因此，需要对未知数x分情况加以讨论. 当x为最大值时，则x-（-1）=8，解得x=7；当x为最小值时，则5-x=-3，解得x=-3. 即本题正确应该填：-3或7.

【启迪】在一组数据中，所求的数据大小不确定性时，我们通常需要对这个数据分情况讨论解答.

二、 用样本估计总体的数学思想

用样本估计总体是统计中的一个基本思想，根据统计的结果作出合理的判断和预测. 本章能够较好地渗透应用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差. 如：课本中多次列举的质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球直径问题，都是从总体中分别抽取10只进行测量、检测，从而确定两厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小.

例2 （2013·茂名）小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定. 根据图中的信息，估计这两人中的新手是________.

【解析】根据平时射箭练习过程的统计，应用样本的数据结论估计总体的数据结论是新手射击的成绩不太稳定. 从小李和小林练习射箭射完10箭后两人成绩的统计图来看，小李的成绩没有小林稳定，这样我们可以应用样本的整体趋势来估计总体的整体趋势，从而估计这两人中的新手是小李. 即本题正确应该填：小李.

例3 七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题.

（1） 分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数；

（2） 如果要从这两个班中选出一个班代表级部参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？

【解析】（1） 根据平均数、众数、中位数的意义进行计算，即可得出结果，即一班选手进球数的平均数、众数、中位数分别为：7，7，7. 二班选手进球数的平均数、众数、中位数分别为：7，7，7；（2） 争取夺得总进球数团体第一名，可考虑运用方差大小进行选择，要争取个人进球数进入学校前三名应该看各班前三名的平均数. 可以分别求得一班的方差为2.6、二班的方差为1.4. 所以，二班选手水平发挥更稳定，争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班；一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班.

【启迪】从上述两例可知：当所考查对象的较多时，我们往往从总体中抽取部分样本进行考查，从中获取样本的离散程度，进而估计总体的离散程度，再对总体作出推断、评论和预测. 用样本来估计总体的思想是可靠的、科学的，在节约人力、物力、财力的同时，也提高了工作效率. 但要注意，抽样调查选取的样本是否合适：一要保证抽取的样本有代表性；二是抽取的样本容量要尽量大些，这样的估计才比较准确，偏差也比较小.