对“折叠黄金矩形”问题的深入探究

在《图形与证明（二）》一章的“数学活动”中，教材安排了折纸活动，同学们参与热情都很高，探究的成果也超过了课本上的要求；后来老师又布置了一道“折叠黄金矩形”的练习，请看：

例 【阅读理解】 宽与长的比是或（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.

下面，我们用宽为4 cm的矩形纸片折叠出一个黄金矩形.

第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图③中所示的AD处.

第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，如图④.

【问题解决】

（1） 图③中AB=_______cm；

（2） 你发现图④中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个证明你的发现.

这两个问题都没有难倒我，我给出下面的解答：

即矩形MNDE为黄金矩形.

我第一个把作业提交老师后，老师肯定了我的解答，看着其他同学还在“埋头苦干”，老师让我继续把“成果扩大”（他常常这样要求我们）.

∴四边形ADQB是平行四边形. （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.）

∴平行四边形ADQB是菱形. （一组邻边相等的平行四边形为菱形.）

我又一次送给老师检查，老师很满意我的这一发现，仔细想了想，在图③中，连接BD，写出一个问题：

以AQ、BD为两直角边作直角三角形，求该直角三角形斜边的长.

老师又一次表扬了我的思路贯通的速度，并引导我们继续分析出一种优化的思路：

由上面知道四边形ADQB是菱形. 如下图，平移对角线BD到QP的位置.

反思：老师的这种解法避开了大量繁琐的运算，几乎没有运算量，让我心生佩服. 后来老师让我在黑板上给大家完整地讲了一遍我的发现和证明. 对最后一个问题，还有同学提出也可以在菱形ADQB对角线分成的四个小直角三角形中寻求突破.

刘老师点评：史宁中教授曾说：“计算简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价.”在这道题的最后一问题突破中，这句话体现得尤为充分. 另外，这道题还让我想起了波利亚的一句话：“在你找到第一个蘑菇后（或得出第一个发现以后）要环顾四周，因为他们总是成堆生长的. ”就把这句话送给喜欢“成果扩大”的“小樊同学们”.