深挖教材，拓展延伸

教材是数学试题的原始生长点，回归教材、用好教材是学好数学的重要途径. 课本例题和习题都反映了相关数学知识的本质属性，蕴含着重要的数学思想和数学方法，具有典型的示范作用，极具“开采”的价值.

【解析】对于延展1，由原题的结论可得CD=AB-AC=-1. 对于延展2，由原题的线段关系CA=CB=AE，BE=DE=CD，可得△BDE的周长就是线段AB的长即为2. 对于延展3，去掉CA=CB，把等腰直角三角形变为直角三角形，本题还是抓住角平分线的对称性，可以作DE⊥AB，垂足为E，得△ADE≌△ADC，△ABC∽△DBE，则=，设BD=x，BE=y，则=，解得x=2y-3，在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2，即（2y-3）2=y2+32，求得y=4，即可求得AB=4+6=10. 对于延展4，返回到该题的原型，看似有一定的难度，不过我们还是可以利用角平分线的对称性，在AB边上截取AE=AC，连接DE（如图1-4）. 可以证明△ADE≌△ADC，得到ED=CD，AE=AC，∠AED=∠C. 由∠C=2∠B可得∠AED=2∠B，所以就有∠EDB=∠B，从而EB=ED=CD. 所以AB=AE+EB=AC+CD.

角平分线最重要的性质是它的轴对称性，其他性质都可以由此推出. 所以，遇到与角平分线有关的问题时，首先应该想到它的轴对称性，比较常见的是构造三角形全等. 希望同学们能从本题中有所感悟.

延展2：已知：如图2-2，将一块半径足够长，圆心角为120°的扇形纸板的圆心放在正三角形ABC的中心O处，并将纸板绕点O旋转. 正三角形ABC被覆盖部分的面积和正三角形ABC的面积存在一种特殊关系吗？正三角形ABC被覆盖部分的边长（即CE和CF）和正三角形ABC的边长也存在一种特殊关系吗？

延展3：已知：如图2-4，将一块半径足够长，圆心角为72°的扇形纸板的圆心放在正五边形ABCDE的中心O处，并将纸板绕点O旋转. 你能总结出类似于“延展2”的结论吗？

延展4：已知：如图2-5，将一块半径足够长，圆心角为多少度的扇形纸板的圆心放在正六边形ABCDEF的中心O处，能得出类似于“延展2”的结论吗？如果是正n边形，那么圆心角应该是多少度，被覆盖的面积和边长又有什么特点呢？

【解析】对于延展1，由原题的结论可得正方形ABCD被覆盖部分的面积是正方形ABCD面积的. 正方形ABCD被覆盖部分的边长CE与CF的和等于正方形ABCD的边长. 对于延展2，借助原题的方法，可以连接OB、OC，如图2-3，证△BOE≌△COF，同样可得正三角形ABC被覆盖部分的面积是正三角形ABC面积的，正三角形ABC被覆盖部分的边长CE与CF的和等于正三角形ABC的边长. 同理，对于延展3，可得正五边形ABCDE被覆盖部分的面积是正五边形ABCDE面积的，正五边形ABCDE被覆盖部分的边长DM与DN的和等于正五边形ABCDE的边长. 对于延展4，只要将一块半径足够长，圆心角为60°的扇形纸板的圆心放在正六边形ABCDEF的中心O处，能得出正六边形ABCDEF被覆盖部分的面积是正六边形ABCDEF面积的，正六边形ABCDEF被覆盖部分的边长DM与DN的和等于正六边形ABCDEF的边长. 如果是正n边形，那么圆心角只要为，被覆盖部分的面积是正n边形面积的，被覆盖部分的边长之和等于正n形的边长.