HPM在公安院校数学教育中的作用

游永兴

（湖北警官学院 基础课教学部，湖北 武汉430034)）

当前数学教育①数学教育包括广义数学教育和狭义数学教育：狭义数学教育指数学类课程的教学，而广义数学教育则指所有对学习者数学素养的培养过程。本文主要针对狭义数学教育而言。强调“四基”：即在原来培养学生的基础知识和基本技能“两基”的基础上，增加培养学生的基本思想和基本活动经验。在这种理念的影响下，相应的数学教学研究改革也随之发生了变化。Sfard A强调：“就研究工作而言，仅仅在一些年前仍然充满着居高临下这样一种基调，但现在已经发生了根本性的变化……，强调支持教师与学习者发展自己的能力，而不是力图去改变他们。”[1]在培养学生的基本思想和基本活动经验方面，HPM②1972年，第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations betweenHistoryandPedagogyofMathematics），标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。通常把该研究领域和该组织在不引起混淆的情况下都简称为HPM。带来了新的思路。公安院校数学教育作为数学教育的分支，引入HPM可以有效解决其所面临的一些问题。

一、HPM解读

19世纪末至20世纪70年代，欧美众多著名数学家、数学史家和数学教育家都提倡在数学教学中直接或间接地利用数学史。1972年，第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（HPM）。HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文本在教学中的应用等[2]。

HPM研究数学史与数学教育的关系，是数学教育取向的数学史研究，其主要目的之一是为数学课堂教学提供支持[3]。HPM致力于对数学史和数学教育以及两者的结合进行研究，着眼于将数学史引入数学课堂教学中，改变数学教育以知识和理论讲解为主的传统，扭转重理论轻思想、重知识轻文化的教育教学习惯，提升学生的思维能力，培养学生的创新意识，提高学生的文化素质，将对学生的教育从应试教育逐渐转变到素质教育。

目前国内大学数学教学基本上根据知识的逻辑结构进行，忽视了归纳和猜想在数学发现中的作用，表现为教材的前后顺序与历史上的发展顺序完全相左。HPM 可以弥补这一点。它通过展现历史真正的思维过程和活动过程，让学生理解其出现和发展的思路，培养其创新意识。它经过了通过将数学史和数学教育紧密结合起来，展现数学经过归纳和类比；通过合情推理模式得出基础不很严谨的数学；然后通过许多数学家的连续工作将其不断完善、夯实基础的历史进程。这也有助于培养学生的历史唯物主义观点：推动科学理论发展的是社会的发展和对自然不断深化的认识，它和一定的历史阶段紧密相关。

二、公安院校数学教育面临的困惑及HPM带来的启示

公安院校作为培养公安高级复合应用型人才的机构，不可避免地需要培养学生一定的数学素养。笔者曾对公安院校数学教育改革进行了探讨。[4]公安院校数学教育在新的历史时期至少面临着三个方面的挑战：一是海量的信息对数学教育的影响。公安院校作为高等院校，在如今的信息时代与其它高校一样面临着在校讲授知识和校外应用知识的不同步。二是公安院校拥有自己的培养目标和管理模式，如何改革数学教育的内容和方法，更好地契合公安院校教育体系，对于公安数学教育者是不可回避的。三是基础课程的第三个目标是培养态度情感与价值观，如何在教学过程中培养忠诚于党，忠诚于人民的预备警官的态度情感和价值观也是值得思考的问题。

HPM 对于公安院校数学教育面临的三个问题可以有不同程度的解决：（1）引入HPM后更加注重数学思想和价值观培养，对学生终生都可以起到作用；（2）HPM可以更好更明确地培养学生的思维，提升学生的方法论水平，更好地促成公安院校的培养目标；（3）通过在教学过程中穿插数学史教育，可以培养学生优良的意识品质，包括忠诚与奉献精神。

三、HPM在公安院校数学教育中的一个设计

在讲数的理论时，要讲到数系的扩展，从有理数扩展到无理数是一个历史的进步。其中无理数是不可能用分数来表示的，证明过程如下：

于是2是p2的因子，从而也是p的因子，从而4是p2的因子。

于是4是2q2的因子，从而2是q2的因子，从而2是q的因子。

由于p和q互素，这是一个矛盾，从而假设是错误的。

讲到这个地方，可以很自然地把希伯维斯悖论和第一次数学危机介绍给学生。希伯维斯悖论的提出与毕达哥拉斯定理（国内称为勾股定理）的发现密切相关。相传毕达哥拉斯完成其证明后杀百牛来庆祝，所以有人又称其为“百牛定理”。毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？我们知道这个数是，根据上面的证明，这既不是分数更不是整数。这与毕达哥拉斯创立的毕达哥拉斯学派“一切数均可表成整数或整数之比”的数学信仰是矛盾的。富有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。后来的故事出了几个版本，但结局都是一样的，希伯维斯为之付出了生命的代价。

通过这个教学过程，可以起到以下作用：

（一）提升学生对于数学的认识，进而引出公理化的处理方式。这一悖论出来200年后，才华横溢的欧多索克斯建立了比例论，暂时回避了这个问题。19世纪下半叶，实数理论建立之后，随着分划说、序列说等对于实数意义解释的出现造成的危机才得以真正解决。在这个历史进程中，对于“数学基础”的研究也就不可回避，之后公理化的出现成为一种必然，现在公理化已成为包括数学在内科学理论研究的基础方法。

公理化的思考方式可以避免先入为主的思维模式。公安机关面临形式多样的犯罪活动，如果能够坚持公理化的思考，严格按照逻辑进行推理，综合使用案例分析、调查、科学实验和比较等多种方法，能够更好地维护人民群众的利益。同时，在案件陷入僵局的时候，能够及时思考作为“公理”使用的假设是否有误，则有可能出现柳暗花明又一村的结果。

（二）培养学生基本的人文素养，尤其是哲学素养。第一次数学危机是由于毕达哥拉斯学派将“万物皆数”作为该学派的哲学基石，而“数”皆为最小单位的倍数，至多有分数。第一次数学危机严重影响到其哲学基石，这也告诉学生，哲学是研究最基本问题的，包括对世界、对思维、对方法的认识等最能影响人类进程的问题，而西方数学的发展对哲学是有很深的影响的。正如数学家希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”培养具有深厚人文素养的预备警官是公安院校不可或缺的历史使命，而通过各种课程包括数学等来进行潜移默化的教育，比单纯的说教效果会更明显。

（三）培养学生坚持真理的意识品质。从毕达哥拉斯和希伯索斯的行为可以看出，双方为了坚持自己的“真理”都付出了巨大的代价。对于公安院校而言，忠诚是教育的最重要目标，通过教学过程也可以告诉学生，忠诚于党、忠诚于人民是预备警官必备的品质，是历史赋予我们的责任。

[1]Sfard A.What Can Be More Practice Than Good Research on the Relations between Research and Practice of Mathematics Educationl Studies inMathematics[J].Educational Studies inMathematics,2005(3):393-413.

[2]汪晓勤,张晓明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报,2006(1):20-22.

[3]蒲淑萍.寻找历史与教学的最佳融合——国际HPM2012会议及其研究分析[J].数学教育学报,2013(1):89-92.

[4]游永兴.关于公安院校大学数学教育的一些思考[J].湖北经济学院学报(人文社会科学版),2010(4):174-175.