谈柯西对数学的贡献

李晓龙

(沈阳师范大学，辽宁 沈阳 110034)

柯西，英文名字Cauchy，Augustin Louis.中文名字奥古斯丁·路易斯·柯西。1789年出生于法国巴黎，1857年逝世，享年68岁。他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中已知担任公职。他的父亲是一位精通古典文学的律师，曾任法国参议院秘书长，和拉格朗日、拉普拉斯等人交往甚密因此柯西从小就认识了一些著名的数学家。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述方法。正如著名数学家冯·诺依曼所说：“严密性的统治地位基本上由柯西重新建立起来的。”在这方面他写下了三部专著：《分析教程》、《无穷小计算教程》、《微分计算教程》。他的这些著作，摆脱了微积分单纯的对几何、运动的直观理解和物理解释，引入了严格的分析上的叙述和论证，从而形成了微积分的现代体系。在数学分析中，可以说柯西比任何人的贡献都大，微积分的现代概念就是柯西建立起来的。有鉴于此，人们通常将柯西看作是近代微分学的奠基者。阿贝尔称颂可惜‘是当今懂得应该怎样对待数学的人’。并指出：“每一个在数学中喜欢严密性的人，都应该读柯西的杰出著作《分析教程》。”柯西将微积分严格化的方法虽然也利用无穷小的概念，但他改变了以前数学家所说的无穷小是固定数。而把无穷小或无穷小量简单的定义为一个以零为极限的变量。他定义了研究了行列式的理论，并得到了有名的宾内特—柯西公式。他总结了多面体理论，证明了费马关于多角数的理论等等。

柯西的另一个重要贡献，是发展了复变函数的理论，取得了一系列重大的成果，特别是他在1814年关于复数极限的定积分的论文，开始了他作为单复变量函数理论的创立者和发展者的伟大业绩。他还给出了复变函数的几何概念，证明了在复数范围内幂级数具有收敛圆，还给出了含有复积分限的积分概念以及参数理论等。

柯西还是探讨微分方程解的存在性问题的第一个数学家，他证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解，从而使微分方程的理论深化了。在研究微分方程的解法时，他成功提出了特征带方法并发展了强函数方法。

柯西最重要和最有创造性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的微积分，但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定义积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。

柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析。简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论，柯西为此首先成功地建立了极限论。

柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题，通常认为是柯西提出的三种方法，即柯西—利普希兹法，逐渐逼近法和强级数法。实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方程所求的解。

虽然柯西主要研究分析，但在数学各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外，他在数学中其他光学如下：

⒈分析方面：在一阶偏微分方程论中行进了特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。

⒉几何方面：开创了微分几何，得到了把平面曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。

⒊代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡结果，独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。

作为一位学者，柯西思路敏捷，功绩卓著。由他众多的论著和成果，人们不难想象他的一生是怎样孜孜不倦的工作。但柯西却是个具有复杂性格的人。他是忠诚的保王党人，热心的天主教徒，落落寡欢的学者，尤其作为久负盛名的科学泰斗，他常常忽视青年学者的创造。例如，由于柯西失落了才华出众的年轻数学家阿贝尔和伽罗华的开创性论文手稿，造成群论问世晚半个世纪。

尽管很多人都在议论他的缺点，但我们更应该看到他在数学发展上不可替代的地位。每当我看到以柯西命名的定理和公式来解决问题时，每每都惊叹于其睿智的思路。我是学数学的，这位多产数学家对数学的执着和其刻苦钻研的精神正是我要学习的，在这里，我要再次像这位大数学家表示我的崇拜和敬仰之情。

[1]牛秋业，王修智.古今中外科技名人[M].山东：山东科学技术出版社，2007.

[2]王芝平，易南轩.数学星空中的璀璨群星[M].北京：科学出版社，2009.