一种陀螺摆式球形驱动机构动力学模型分析

刘 忠，张湖川，武 颖,2，王雅君，朱亚蓉，刘 焱

（1.首都航天机械公司，北京 100076；2.太原理工大学机械工程学院，山西 太原 030024）

0 引 言

如图1所示的球形驱动装置由转动轴相互正交的两个万向节和一个连杆-转子机构组成。与球体内部相固连的万向节称为外环，只能绕固连轴转动；另一个万向节固连在外环上，因此，称之为内环，可以绕内环固连轴转动。内环和外环的转动轴相互垂直。无质连杆固连在平面内，与内环的转动轴相垂直。均质对称的转子偏离球心而固连在连杆上。在外环和内环的转动轴上分别施加转动力矩，转子在内环和外环的作用下，在半径为l的球面上运动（球面的球心与球体的球心重合），改变了整个系统的质心位置，即势力场的分布，球体则在驱动装置的反作用下滚动。当外环的转动轴平行于水平面时，驱动装置的构型类似一个陀螺摆装置，因此称图1所示机构为陀螺摆式球形驱动机构。陀螺摆式球形机构在球形机器人的设计中得到了广泛的应用。本文利用拉格朗日法建立了系统的动力学模型，并计算其平衡点。

1 动力学建模

设如图1所示，陀螺摆式球形机器人的球心速度为u，与正北方向成α角，旋进角速度为α̇。为了推导在加速度u̇的作用下，驱动装置的运动微分方程，建立如图2所示的坐标系：球体的基础坐标系为∑sphere{X,Y,Z}（即为惯性坐标系的平移坐标系），外环的坐标系为 ∑outer gimbal{ξ′,η′,ζ′}，内环的坐标系 为 ∑inner gimbal{ξ,η,ζ} 以 及 转 子 的 坐 标 系 为∑rotor{x,y,z}，而且，所有的坐标原点均位于点O处，轴ξ与轴ξ′重合同向，轴η′与轴Z重合反向，轴ζ与轴z重合同向。这样，外环可以绕坐标系∑sphere的Z轴自由转动，转角记为 ；内环可以绕坐标系 ∑outer gimbal的轴ξ自由转动，转角记为θ，轴ξ始终位于XY平面内；转子的对称轴z垂直于轴ξ，可以绕坐标系∑inner gimbal的轴ζ（轴z）自由转动，转角记为ψ。

图1 陀螺摆式球形驱动机构示意图

图2 陀螺摆式球形驱动机构坐标系

在球体的基础坐标系内，转子的姿态可以由3个欧拉角ϕ，θ和ψ确定。如果忽略外环和内环的转动惯量，那么转子的运动方程可以表示为[1]：

其中，T为驱动机构的动能，列向量矩阵{ }N0的分量分别为输入力矩在转动轴ξ，η和ζ上的投影。列矩阵{ }

∂T/∂Ω 的 分 量 分 别 为 ∂T/∂Ωξ、∂T/∂Ωη和∂T/∂Ωζ，其中 Ωξ，Ωη和 Ωζ分别转子的角速度在转动轴ξ，η和ζ上的投影。列矩阵{ }∂T/∂υ的分量分别为 ∂T/∂υξ，∂T/∂υη和 ∂T/∂υζ，其中 υξ，υη和 υζ分别转子的速度分量。

距阵式（3）为一斜对称矩阵，其中ωξ，ωη和ωζ分别为内环的角速度在转动轴ξ，η和ζ上的投影。设基础坐标系在惯性坐标系上的角速度投影分别为ωX=0，ωY=α̇和ωZ=0，且外环对于球体的转动角速度为ϕ̇。那么，外环的角速度在转动轴ξ′，η′和ζ′上的投影分别为：

内环对于外环的转动角速度为θ̇，那么，内环的角速度在转动轴ξ，η和ζ上的投影分别为:

转子绕对称轴z的转动角速度为ψ̇=0，那么，转子的角速度在转动轴ξ、η和ζ上的投影分别为:

设点O的速度（球体的速度）为:

若设v为转子质心的速度，列向量{r}为转子质心C到点O的矢径，即{r}=[0 0 -l]T，其中l为转子质心到点O的长度。那么u和v之间的联系可以表示为矩阵形式：

其中，[ω ]如式（3）所示，则有：

设转子的质量为m，对于惯性主轴ξ，η和ζ的转动惯量分别为A，A和C，并且忽略外环和内环的转动惯量，可以得到转子的动能T为[2]：

将上式代入式（1），得到力平衡方程：

其中，F1和F2分别为球体对转子的反作用力在转动轴ξ和η上的投影。将式（10）代入式（2）得到力矩平衡方程：

将式（11）代入式（12）得到关于转子的动量方程为

式中：A0=A+ml2，Nξ=-mgl sinθNη=-mgl sinϕ.

2 平衡点计算

对于欠驱动陀螺摆球形机器人有Nζ=0，且转子关于转动轴z对称，那么，由式（13）中的第3式得：

对于小量ϕ和θ有：

因此，忽略高阶项，式（13）中的第1式和第2式可以分别简化为：

如果设：

那么式（17）可以简化为：

由方程组（18）可得：

当u̇不变，即球体稳定运行时，微分方程（19）的解为：

将式（20）代入方程组（18）的第2式，并忽略高阶项，可以得到关于θ̇的微分方程的解为：

由微分方程组（18）解的形式可以看出转子的对称轴z（轴ζ）在平衡位置是自由振动的，平衡位置为：

3 结 论

建立了一种球形驱动装置的动力学模型，并推倒其平衡点。该球形驱动装置由转动轴相互正交的两个万向节和一个连杆-转子机构组成，通常被称为陀螺摆式球形驱动机构。陀螺摆式球形机构在球形机器人的设计中得到了广泛的应用。

[1] 孙汉旭，王亮清，贾庆轩，等.BYQ-3球形机器人的动力学模型[J].机械工程学报，2009,45（10）：8-14.

[2] ZHAN Qiang,JIA Chuan,MA Xiaohui.Mechanism design and motion analysis of a spherical mobile robot[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005,18(4):542-545.